13
Решение: Объём пирамиды в кубе
ЕГЭ · Математика, база · Задание 13 · Стереометрия
ПовышеннаяФИПИDD2F43Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$ и $P$ — середины рёбер соответственно. Найдите объём пирамиды $B_1BKP$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Так как точки $K$ и $P$ — середины рёбер $AB$ и $BC$, а ребро куба равно 6, получаем:
$$BK = BP = \frac{6}{2} = 3$$2
Треугольник $BKP$ прямоугольный, поэтому его площадь равна:
$$S_{BKP} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BP = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$$3
Высота пирамиды $B_1BKP$ равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $ABCD$, то есть ребру куба:
$$h = BB_1 = 6$$Находим объём пирамиды:
$$V = \frac{1}{3}S_{BKP}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 = 9$$Ответ
9
9
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Используют площадь всего основания куба вместо площади треугольника $BKP$.
Забывают множитель $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды.
Принимают длины $BK$ и $BP$ за 6, не учитывая, что точки являются серединами рёбер.