Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 9. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 72.
- 1
Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 3 \cdot 9 = 27$$
- 2
Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту:$$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h, \quad h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 9 и 7. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{9^2 \cdot 7}{3^2 \cdot 6} = \dfrac{567}{54} = 10.5$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной 4:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=8$$
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.
- 1
Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 6. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$$
- 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=18$$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6, а гипотенуза равна $\sqrt{85}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет прямоугольного треугольника:$$b=\sqrt{(\sqrt{85})^2-6^2}=\sqrt{85-36}=7$$
- 2
Вычислим площадь основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot7=21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 11 и 5, а объём параллелепипеда равен 440. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{440}{11 \cdot 5} = 8$$
- 2
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(11 \cdot 5 + 11 \cdot 8 + 5 \cdot 8) = 2(55 + 88 + 40) = 366$$
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 4 и 8.
- 1
Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 4 \cdot 8)$$
- 2
Вычислим сумму произведений и умножим на 2:$$S = 2(8 + 16 + 32) = 2 \cdot 56 = 112$$
Даны два шара с радиусами 8 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{8}{1}\right)^3 = 8^3 = 512$$
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $2$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $4\sqrt{3}$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
- 1
Так как $SA$ перпендикулярно плоскости основания, ребро $SA$ является высотой пирамиды.$$h = SA = 4\sqrt{3}$$
- 2
Основание — правильный треугольник со стороной $2$. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2 = (\sqrt{34})^2 - 3^2 = 34 - 9 = 25,\quad b = 5$$
- 2
Площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $4$, $2$ и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
- 1
На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $BC$ и $BB_1$.$$BB_1^2 = BC_1^2 - BC^2 = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = 20 - 16 = 4$$
- 2
Следовательно, третье ребро параллелепипеда равно:$$BB_1 = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $3\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.
- 1
Площадь основания призмы — площадь равностороннего треугольника со стороной $1$.$$S_{\text{осн}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V=S_{\text{осн}}h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{3}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$
Даны два шара с радиусами 2 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
- 1
Площадь поверхности шара определяется формулой:$$S = 4\pi r^2$$
- 2
Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \dfrac{4\pi\cdot 2^2}{4\pi\cdot 1^2} = 4$$
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 9 и 8, а второго — 4 и 9. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
- 2
Составим отношение объёма первого цилиндра к объёму второго:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 9^2 \cdot 8}{\pi \cdot 4^2 \cdot 9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём данного конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой…
- 1
Отсечённый конус и данный конус подобны, так как секущая плоскость параллельна основанию.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём конуса равен $48\pi$, а его высота равна $4$. Найдите радиус основания конуса.
- 1
Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Подставим известные значения объёма и высоты.$$48\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
- 1
Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \dfrac{540}{9 \cdot 5} = 12$$
- 2
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
- 1
Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
- 2
Находим отношение объёмов шаров:$$\dfrac{V_\text{большего}}{V_\text{меньшего}} = \left(\dfrac{5}{1}\right)^3 = 125$$
Объём конуса равен 40. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
- 1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Так как плоскость проходит через середину высоты, коэффициент подобия отсечённого конуса и исходного равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…
- 1
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
- 2
Составим отношение площади второго конуса к площади первого:$$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 2 \cdot 4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении