Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Отношение площадей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 7, а второго — 6 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности второго конуса к площади первого. Образующие и множитель $\pi$ сокращаются:$$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 7}{\pi \cdot 4 \cdot 7} = \dfrac{6}{4} = 1.5$$

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{3}$.

1. 1
   Площадь квадратного основания со стороной 6 равна:$$S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$$
2. 2
   Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно половине диагонали:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сравнение объёмов конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 6, а второго — 6 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

1. 1
   Объём конуса равен произведению $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов первого и второго конусов. Общий множитель $\dfrac{1}{3}\pi$ сократится.$$\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{9^2\cdot6}{6^2\cdot3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 625. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Точка делит высоту в отношении $1:4$ от вершины, значит высота малого конуса составляет пятую часть высоты исходного.$$k=\frac{h_{\text{мал}}}{h}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_{\text{мал}}=625\cdot k^3=625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{625}{125}=5$$

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами длиной $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами…

1. 1
   Подставим в формулу $S = 2(ab + ac + bc)$ значения $a = 2$, $b = 4$, $c = 5$.$$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 5)$$
2. 2
   Вычислим сумму произведений и умножим её на 2.$$S = 2(8 + 10 + 20) = 2 \cdot 38 = 76$$

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса малый конус, подобный исходному.$$k = \frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных конусов относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение, параллельное оси цилиндра, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра: $18$.
2. 2
   В основании цилиндра сечение даёт хорду окружности радиуса $10$, находящуюся на расстоянии $8$ от центра.$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 9 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi R^2$$
2. 2
   Отношение площади поверхности большего шара к площади поверхности меньшего равно квадрату отношения их радиусов:$$\frac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}} = \left(\frac{9}{1}\right)^2 = 81$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 9, а второго — 3 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 9}{\pi \cdot 3 \cdot 5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 16. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, поэтому отсечённый у вершины конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{h_1}{h} = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB$, $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $AD = 10$.

1. 1
   Три ребра, исходящие из вершины $A$, взаимно перпендикулярны, поэтому объём пирамиды равен одной шестой произведения их длин.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$
2. 2
   Подставим известные значения длин рёбер.$$V = \dfrac{1}{6} \cdot 8 \cdot 12 \cdot 10 = 160$$

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $1$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — правильный треугольник со стороной $1$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\sqrt{3}=3$$

Объём двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого. Общие множители сокращаются:$$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{r_2^2h_2}{r_1^2h_1} = \dfrac{8^2 \cdot 9}{2^2 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по сечению

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекáемого от данного конуса…

1. 1
   Плоскость проходит через точку на высоте конуса, расположенную на расстоянии одной трети высоты от вершины. Поэтому отсечённый малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{мал}}}{V}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 10, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 8. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Основанием сечения является хорда основания цилиндра. Половина хорды находится по теореме Пифагора:$$\frac{a}{2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$
2. 2
   Длина хорды, являющаяся шириной сечения, равна:$$a=2\cdot 6=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $9\pi$, а его высота равна $3$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$9\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 3 = \pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $96\pi$, а его высота равна $8$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Запишем формулу объёма конуса.$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты.$$96\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отношение площадей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площадей боковых поверхностей двух конусов:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 3, а второго — 8 и 3. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого цилиндра?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов второго и первого цилиндров:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 3}{\pi \cdot 2^2 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы двух цилиндров

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 8, а второго — 8 и 9. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого:$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 9}{\pi \cdot 2^2 \cdot 8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении