13
Решение: Объём конуса по сечению
ЕГЭ · Математика, база · Задание 13 · Стереометрия
ПовышеннаяФИПИ29F944Короткий ответ≈ 2 минутыРазбор в 3 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1 : 2$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 30.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
3 шага1
Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса малый конус, подобный исходному.
$$k = \frac{h_{\text{мал}}}{h_{\text{бол}}} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$$2
Объёмы подобных конусов относятся как кубы коэффициента подобия.
$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$Так как объём малого конуса равен 30, объём исходного конуса равен:
$$V_{\text{бол}} = 30 \cdot 27 = 810$$Ответ
810
810
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Используют отношение высот $1:2$ вместо отношения высоты малого конуса к высоте большого конуса $1:3$.
Применяют коэффициент подобия к объёмам без возведения в куб.