ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Высота копии пирамиды

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры оригинальной пирамиды в сантиметры: сторона основания равна $220\ м = 22000\ см$, высота равна $104\ м = 10400\ см$.$$220\ \text{м}=22000\ \text{см},\qquad 104\ \text{м}=10400\ \text{см}$$
2. 2
   Коэффициент подобия копии и оригинала найдём по сторонам оснований.$$k=\dfrac{44}{22000}=\dfrac{1}{500}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Уровень воды в сосуде

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в четыре раза больше…

1. 1
   При переливании объём воды сохраняется.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   При увеличении радиуса основания в 4 раза площадь основания увеличивается в 16 раз.$$S_2 = \pi(4r)^2 = 16\pi r^2 = 16S_1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно 4, 6 и 5. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Его гипотенуза $AB_1=5$, а катет $AB=4$.$$BB_1 = \sqrt{AB_1^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$$
2. 2
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.$$V = AB \cdot AD \cdot BB_1 = 4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$$

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении деталь вытесняет объём жидкости, равный объёму детали.
2. 2
   Площадь квадратного основания бака равна:$$S = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сечение куба плоскостью

Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?

1. 1
   Плоскость через точки $A$, $B$ и $C$ пересекает рёбра куба и образует сечение. Получившиеся точки пересечения становятся дополнительными вершинами многогранников.
2. 2
   Для каждого из двух многогранников считаем вершины: сохраняем вершины куба, расположенные на соответствующей части, и добавляем вершины, возникшие на рёбрах при пересечении плоскостью.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 42, а боковые рёбра равны 29. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами 29 и основанием 42. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{29^2 - \left(\frac{42}{2}\right)^2}$$
2. 2
   Вычислим высоту боковой грани:$$h = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак цилиндрической формы, площадь основания которого равна 80 квадратным сантиметрам, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Вытесненная жидкость имеет форму цилиндра с площадью основания 80 квадратных сантиметров и высотой, равной подъёму уровня жидкости — 10 см.$$V = S h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Находим массу шара диаметром 4 см:$$m_2 = 432\left(\dfrac{4}{6}\right)^3 = 432\cdot\dfrac{8}{27} = 128$$

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 54 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из бір и того же материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$m_2 = m_1\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения диаметра и массы:$$m_2 = 54\left(\frac{5}{3}\right)^3 = 54\cdot\frac{125}{27}=250$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость и сосуд имеют форму подобных конусов. Линейный коэффициент подобия жидкости и сосуда равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём многогранник на два прямоугольных параллелепипеда.
2. 2
   Объём первого параллелепипеда равен:$$V_1 = 1 \cdot 3 \cdot 4 = 12$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота музейной копии

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 115 см. Найдите…

1. 1
   Переведём длину стороны основания большой пирамиды в сантиметры:$$230\ \text{м}=23000\ \text{см}$$
2. 2
   Пирамиды подобны, поэтому коэффициент подобия равен отношению сторон оснований:$$k=\dfrac{115}{23000}=\dfrac{1}{200}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,7 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём, занятый водой и деталью, стал равен:$$10 \cdot 1{,}7 = 17\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен увеличению объёма воды:$$17 - 10 = 7\ \text{л}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен 540 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму конуса, подобного исходному. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия:$$V_{\text{жидкости}}=540\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=540\cdot\frac{1}{27}=20$$

Площадь двускатной крыши

Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник (см. рис.), необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна 3 м, длины стен дома равны 7 м и 8 м. Найдите, сколько рубероида (в…

1. 1
   Половина ширины дома равна $8 : 2 = 4$ м. В поперечном сечении крыши получаем прямоугольный треугольник с катетами 3 м и 4 м.$$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Каждый скат крыши является прямоугольником со сторонами 7 м и 5 м.$$S_1 = 7 \cdot 5 = 35\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
2. 2
   Основание бака — квадрат со стороной 20 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вчетверо выше второй, а вторая — в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус второй кружки равен $r$, а её высота — $h$. Тогда радиус первой кружки равен $r/4$, а высота — $4h$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая равна 6. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси на расстояние, равное 16. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=6$.
2. 2
   Ширина прямоугольника — это хорда основания цилиндра. Половина хорды, радиус и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник:$$a=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём сосуда равен $810$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный всему сосуду. Его линейные размеры в $3$ раза меньше, поэтому коэффициент подобия равен $\frac{1}{3}$.$$k=\frac{1}{3}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}}=810\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=810\cdot\frac{1}{27}=30$$