Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Площадь поверхности многогранника

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Поверхность детали состоит из двух равных граней площадью $5 \cdot 5$ и четырёх боковых граней площадью $5 \cdot 1$.$$S = 2 \cdot (5 \cdot 5) + 4 \cdot (5 \cdot 1)$$
2. 2
   Вычислим площадь всей поверхности:$$S = 50 + 20 = 70$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 и 18. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 18.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 18 = 18$$
2. 2
   Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 18 \cdot 3 = 54$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB$, $AD$ и диагональ $AB_1$ боковой грани равны соответственно $5$, $4$ и $\sqrt{34}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольную грань $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора найдём её второе ребро:$$AA_1^2 = AB_1^2 - AB^2 = (\sqrt{34})^2 - 5^2 = 34 - 25 = 9$$
2. 2
   Следовательно, $AA_1 = 3$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1040$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \frac{h}{H} = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рёбра составного многогранника

К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько рёбер у…

1. 1
   Правильная шестиугольная призма имеет 6 рёбер нижнего основания, 6 рёбер верхнего основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 + 6 = 18$$
2. 2
   Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 рёбер основания и 6 боковых рёбер.$$6 + 6 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, стал в 1,5 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{общ}} = 12 \cdot 1{,}5 = 18\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности конечного и первоначального объёмов.$$V_{\text{детали}} = 18 - 12 = 6\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота пирамиды равна 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 110…

1. 1
   Переведём длину стороны основания оригинальной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см}$$
2. 2
   Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{110}{22000}=\dfrac{1}{200}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 2 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы. Её площадь равна произведению внешнего обхвата трубы на длину участка.$$S = C \cdot h$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры.$$2\ \text{м} = 200\ \text{см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём ступенчатой детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на нижний прямоугольный параллелепипед и верхнюю ступеньку.
2. 2
   Объём нижней части равен:$$V_1 = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём погружённой детали

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   При погружении детали уровень воды увеличился в 1,2 раза, поэтому объём, занимаемый водой вместе с деталью, увеличился на $1{,}2 - 1 = 0{,}2$ от первоначального объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 10 \cdot (1{,}2 - 1) = 2\ \text{л}$$
2. 2
   Переведём объём детали из литров в кубические сантиметры.$$2 \cdot 1000 = 2000\ \text{см}^3$$

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $4$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $4$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12$$

Объём конического сосуда

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 216 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\frac{6}{7}$.$$k = \frac{6}{7}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{6}{7}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный сосуду. Линейный коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну восьмую объёма сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в призме

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…

1. 1
   После погружения детали объём, занимаемый водой и деталью, увеличился в 1,6 раза:$$V_\text{общ} = 10 \cdot 1{,}6 = 16\ \text{л}$$
2. 2
   Объём детали равен разности общего объёма после погружения и первоначального объёма воды:$$V_\text{детали} = 16 - 10 = 6\ \text{л}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 5 см весит 500 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{V_2}{V_1}$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{V_2}{V_1}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…

1. 1
   Объём воды сохраняется при переливании.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Пусть радиус первого сосуда равен $r$, а высота воды во втором сосуде — $h_2$. Тогда$$\pi r^2 \cdot 40 = \pi (2r)^2 \cdot h_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Доливка жидкости в конус

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{2}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{2}{7}\right)^3$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда.$$V_{\text{сосуда}}=40\cdot\left(\frac{7}{2}\right)^3=40\cdot\frac{343}{8}=1715\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4 и 3, а объём параллелепипеда равен 180. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:$$4 \cdot 3 \cdot c = 180$$
2. 2
   Найдём третье ребро:$$c = \dfrac{180}{4 \cdot 3} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна $\sqrt{34}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b^2=(\sqrt{34})^2-3^2=34-9=25,\quad b=5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=7{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 100 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость имеет форму малого конуса, подобного всему сосуду. Линейные размеры малого конуса в 4 раза меньше.$$k=\dfrac{1}{4}$$
2. 2
   Объём малого конуса составляет куб линейного коэффициента от объёма всего сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3V_{\text{сосуда}}=\dfrac{1}{64}V_{\text{сосуда}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении