Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота пирамиды равна 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна…

1. 1
   Переведём длины в сантиметры: сторона основания оригинала равна $21000$ см, высота — $13600$ см.$$210\ \text{м}=21000\ \text{см},\quad 136\ \text{м}=13600\ \text{см}$$
2. 2
   Копия и оригинал подобны, поэтому коэффициент подобия равен отношению сторон оснований.$$k=\dfrac{105}{21000}=\dfrac{1}{200}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $2$, $3$ и $2\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   На боковой грани $BCC_1B_1$ диагональ $BC_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$BB_1^2 + BC^2 = BC_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$BB_1^2=(2\sqrt{5})^2-2^2=20-4=16,\quad BB_1=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число рёбер многогранника

К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые…

1. 1
   Куб имеет 12 рёбер, а правильная четырёхугольная пирамида имеет 4 ребра основания и 4 боковых ребра, всего 8 рёбер.$$12 + 8$$
2. 2
   При склеивании квадратных граней четыре ребра основания пирамиды совпадают с четырьмя рёбрами верхней грани куба и не считаются дважды.$$12 + 8 - 4 = 16$$

Объём цилиндрической кружки

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая — в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Вторая кружка в 4 раза шире первой, значит её радиус в 4 раза больше. Первая кружка вдвое выше второй, поэтому высота второй кружки в 2 раза меньше.$$r_2 = 4r_1, \quad h_2 = \dfrac{h_1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём многогранной детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Разобьём деталь на два прямоугольных параллелепипеда.$$V = V_1 + V_2$$
2. 2
   Объём первой части равен:$$V_1 = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Рёбра усечённой призмы

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

1. 1
   У треугольной призмы 6 вершин и 9 рёбер.
2. 2
   При отпиливании каждой вершины образуется треугольное сечение, то есть добавляются 3 новых ребра. Всего таких сечений 6.$$6 \cdot 3 = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна $7\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 2. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7$$

Долив жидкости в конус

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Линейный размер малого конуса составляет $\dfrac{2}{7}$ линейного размера полного конуса.$$k=\dfrac{2}{7}$$
2. 2
   Объём подобных тел относится как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости равен следующей доле полного объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{2}{7}\right)^3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число граней многогранника

К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?

1. 1
   У куба 6 граней, у правильной четырёхугольной пирамиды 5 граней: квадратное основание и 4 боковые треугольные грани.
2. 2
   При склеивании квадратное основание пирамиды и верхняя грань куба совпадают, поэтому обе эти грани становятся внутренними и не учитываются.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1600$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает меньший конус, подобный всему сосуду. Все его линейные размеры в два раза меньше.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{6}{7}$ высоты. Объём сосуда равен 1715 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному конусу. Отношение их высот равно отношению соответствующих линейных размеров:$$\frac{h}{H}=\frac{6}{7}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{6}{7}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём сосуда-конуса

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 8 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует малый конус, подобный сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен отношению высот:$$k=\frac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{1}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{4}{7}$ высоты. Объём жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Отношение их высот равно $\dfrac{4}{7}$, поэтому отношение объёмов равно кубу этого отношения.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=80\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^3=428{,}75\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{7}$ высоты. Объём жидкости равен $270$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{3}{7}$, поэтому объём жидкости составляет $\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$ объёма сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\dfrac{3}{7}\right)^3$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=270\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^3=3430\text{ мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 7. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 и 7:$$S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot 7}{2} = 17{,}5$$
2. 2
   Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}}h = 17{,}5 \cdot 4 = 70$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\frac{1}{3}$.$$k = \frac{1}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет одну двадцать седьмую объёма всего сосуда.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Переведём длину трубы в сантиметры, так как обхват дан в сантиметрах.$$5\ \text{м} = 500\ \text{см}$$
2. 2
   Площадь наружной поверхности без торцов равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = 23 \cdot 500 = 11500\ \text{см}^2$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость имеет форму конуса, подобного всему сосуду. Его высота в два раза меньше высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобного тела изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 4 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи. Торцы трубы открыты, их красить не нужно. Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину трубы.$$S = C \cdot h$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры:$$4\ \text{м} = 400\ \text{см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает часть сосуда, имеющую форму меньшего конуса, подобного исходному. Все линейные размеры уменьшены в $2$ раза.$$k=\dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объём подобных тел изменяется пропорционально кубу коэффициента подобия.$$V=1620\cdot k^3=1620\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении