Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$ печений в единицу времени, а время, в течение которого она ела варенье, равно $t$. Обозначим через $u$ время, в течение которого она ела печенье.
- 2
Медведь ест в три раза быстрее Маши. Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3vu$. По условию варенья съедено поровну.$$vt=3vu$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…
- 1
Обозначим число этажей через $x$, число квартир на этаже через $y$, а число подъездов через $z$. Тогда $x > y > z > 1$ и $xyz = 186$.$$xyz = 186$$
- 2
Разложим число 186 на простые множители:$$186 = 2 \cdot 3 \cdot 31$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)=3$, $2(b+c)=7$, $2(b+d)=8$ и $2(a+d)=x$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 30. Найдите площадь…
- 1
Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$12 \cdot 30 = 15 \cdot x$$
- 2
Находим площадь неизвестного прямоугольника:$$x = \frac{12 \cdot 30}{15} = 24$$
В доме, в котором живёт Дина, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Дина живёт в квартире № 75. В каком подъезде живёт Дина?
- 1
Найдём число квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 75 расположена во втором подъезде, поскольку $54 < 75 \leq 2 \cdot 54$.$$75 - 54 = 21$$
Список заданий викторины состоял из 70 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Обозначим через $x$ число верных ответов, через $y$ — число неправильных ответов, через $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=70$, причём $y\geq 1$ и $z\geq 1$.$$x+y+z=70$$
- 2
По условию о набранных очках получаем:$$9x-17y=153$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 14 и 20. Найдите периметр…
- 1
Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…
- 1
Пусть скорость Маши при еде любого продукта равна $v$, а скорость Медведя — $3v$. Обозначим время до обмена блюдами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.$$v_{вар} = v, v_{медведя} = 3v$$
- 2
Маша ела варенье в течение $t_1$, а Медведь — в течение $t_2$. Так как варенья они съели поровну:$$v t_1 = 3v t_2 \Rightarrow t_1 = 3t_2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с пятью другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Найдём суммарное число договоров, если считать каждый договор со стороны каждой страны.$$4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38$$
- 2
Каждый договор при таком подсчёте учтён дважды: для каждой из двух стран, его подписавших.$$N = \dfrac{38}{2} = 19$$
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
- 1
У он столбов всего насчитывается $10 \cdot 8 = 80$ отходящих концов проводов.$$10 \cdot 8 = 80$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому каждый провод учтён дважды.$$N = \dfrac{80}{2} = 40$$
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: голубая, зелёная и жёлтая. Слева от зелёной вазы 27 роз, справа от голубой вазы 23 розы. Всего в вазах 42 розы. Сколько роз в жёлтой вазе?
- 1
Сумма 27 и 23 учитывает все розы в трёх вазах, а розы из жёлтой вазы учитываются дважды: они находятся и слева от зелёной, и справа от голубой.$$27 + 23 = 42 + x$$
- 2
Находим количество роз в жёлтой вазе:$$x = 27 + 23 - 42 = 8$$
Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, их произведение увеличилось бы на 44. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?
- 1
Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого на 2 прирост произведения равен 44:$$(a+2)(b+2)-ab=44$$
- 2
Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=44;\quad 2a+2b=40;\quad a+b=20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
- 1
Посчитаем общее количество концов проводов у всех столбов:$$10 \cdot 5 = 50$$
- 2
Каждый провод имеет два конца, поэтому при подсчёте по столбам каждый провод учтён дважды:$$50 : 2 = 25$$
Из десяти стран две подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся восьми — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?
- 1
Найдём общее число участий стран в договорах:$$2 \cdot 6 + 8 \cdot 5 = 12 + 40 = 52$$
- 2
Каждый договор посчитан дважды — по одному разу для каждой из двух стран. Поэтому число договоров равно:$$\dfrac{52}{2} = 26$$
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 67. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На первых тоғыз этажах расположено $9 \cdot 7 = 63$ квартиры.$$9 \cdot 7 = 63$$
- 2
Квартира № 67 находится после квартиры № 63, значит, она расположена на десятом этаже.$$67 > 63$$
Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно только $6$, $7$ или $8$.
- 2
Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=164$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?
- 1
При каждом распиле количество кусков увеличивается на один. Поэтому число досок плюс число распилов равно числу получившихся кусков.$$x + 10 = 17$$
- 2
Находим число досок:$$x = 17 - 10 = 7$$
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть $x$ — число этажей в доме, $y$ — число квартир на этаже, $z$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно произведению этих величин:$$xyz = 165$$
- 2
Разложим число $165$ на простые множители:$$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр…
- 1
Обозначим ширины левой и правой частей прямоугольника через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
- 2
Для трёх известных прямоугольников запишем полупериметры:$$a+c=\frac{24}{2}=12,\quad b+c=\frac{28}{2}=14,\quad b+d=\frac{16}{2}=8$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4200 рублей, разность равна 1300 рублей, количество членов равно 11.$$a_1 = 4200,\quad d = 1300,\quad n = 11$$
- 2
Найдём общую сумму оплаты по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии.$$S_{11} = \dfrac{11}{2}\bigl(2 \cdot 4200 + (11-1) \cdot 1300\bigr)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде