Задание 21 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 27 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь левого нижнего прямоугольника равна $x$. Для разбиения прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 33 = 27x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{18 \cdot 33}{27} = 22$$

Распилы по линиям разных цветов

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 13 кусков, если по жёлтым — 14 кусков, а если по зелёным — 15 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получающихся кусков.$$13-1=12,\quad 14-1=13,\quad 15-1=14$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$12+13+14=39$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество исходных досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получился 21 кусок. Сколько досок взяли?

1. 1
   Если сделать один распил, число кусков увеличится на один. Поэтому после 8 распилов число кусков на 8 больше числа исходных досок.$$x + 8 = 21$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 21 - 8 = 13$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 12 и 20. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 20 = 12 \cdot x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь и вычислим её.$$x = \dfrac{18 \cdot 20}{12} = 30$$

Квартира и подъезд

В доме, в котором живёт Катя, 17 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 78. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$17 \cdot 3 = 51$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 51. Квартира № 78 относится ко второму подъезду, так как $51 < 78 \leq 102$.$$2 \cdot 51 = 102$$

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с тремя. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Сложим количество договоров, заключённых каждой страной:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 16 + 18 = 34$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$34 : 2 = 17$$

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 25 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Изначально каждая доска является одним куском. Каждый распил увеличивает число кусков на один.$$x + 11 = 25$$
2. 2
   Найдём количество досок:$$x = 25 - 11 = 14$$

Дружба мальчиков и девочек

В классе 24 ученика. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с двумя мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?

1. 1
   Пусть в классе $x$ мальчиков. Тогда девочек $24-x$.
2. 2
   Посчитаем количество пар дружбы между мальчиками и девочками двумя способами. По условию каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, поэтому таких пар $4x$. Каждая девочка дружит с двумя мальчиками, поэтому таких пар $2(24-x)$.$$4x = 2(24-x)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 19 пар соседних клеток разного цвета и 15 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть по $4-1=3$ горизонтальные пары соседних клеток. Всего горизонтальных пар:$$6 \cdot 3 = 18$$
2. 2
   В каждом из 4 столбцов есть по $6-1=5$ вертикальных пар соседних клеток. Всего вертикальных пар:$$4 \cdot 5 = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?

1. 1
   Суммарное количество проводов, отходящих от столбов, равно:$$7 \cdot 6 = 42$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте он учтён дважды. Делим полученную сумму на 2:$$\frac{42}{2} = 21$$

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдавая 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек, а после стало 64. Сколько обменов он совершил?

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 6.$$10 - 4 = 6$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 36.$$100 - 64 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр…

1. 1
   При разбивке большого прямоугольника двумя прямолинейными разрезами общие стороны внутренних прямоугольников попарно компенсируются. Поэтому суммы периметров прямоугольников на противоположных позициях равны.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$
2. 2
   Обозначим периметр четвёртого прямоугольника через $P$ и подставим известные значения.$$20 + 11 = 12 + P$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Прыжки кузнечика по прямой

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 10 прыжков координата может находиться от $-10$ до $10$.
2. 2
   Так как число прыжков чётное, конечная координата должна быть чётной: $-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во…

1. 1
   Пусть на одном этаже каждого подъезда находится $n$ квартир. Тогда в одном подъезде $12n$ квартир.$$12n$$
2. 2
   Квартира № 468 находится в восьмом подъезде, поэтому номера квартир в первых семи подъездах меньше 468, а номер 468 не превышает количество квартир в первых восьми подъездах.$$7 \cdot 12n < 468 \leq 8 \cdot 12n$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую ячейку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 49, во втором — 97, в третьем — 146, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице:$$49+97+146=292$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 18 и меньшее 21, поэтому она равна 19 или 20.

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен золотых и серебряных монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную; за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 5 золотых монет получают 7 серебряных и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 10 серебряных монет получают 7 золотых и одну медную.$$x+y=60$$
2. 2
   Всего появилось 60 медных монет, поэтому общее число операций равно 60. Золотых монет в конце не осталось, значит, количество золотых монет, полученных во вторых операциях, равно количеству золотых монет, потраченных в первых.$$7y=5x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый поперечный распил увеличивает общее количество кусков на один. Поэтому при $n$ досках после 11 распилов получится $n + 11$ кусков.$$n + 11 = 16$$
2. 2
   Решаем уравнение:$$n = 16 - 11 = 5$$

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $3 \times 8$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 22 пары соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 3 строк имеется 7 горизонтальных пар соседних клеток, поэтому горизонтальных пар всего:$$3 \cdot 7 = 21$$
2. 2
   В каждом из 8 столбцов имеется 2 вертикальные пары соседних клеток, поэтому вертикальных пар всего:$$8 \cdot 2 = 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? На всех…

1. 1
   Пусть в одном подъезде находится $N$ квартир. Тогда квартира № 462 в седьмом подъезде должна удовлетворять условию:$$6N < 462 \leq 7N$$
2. 2
   Так как в подъезде 7 этажей и на каждом этаже одинаковое число квартир, $N$ должно делиться на 7. Из неравенств получаем $66 \leq N \leq 77$. Единственное подходящее число, кратное 7, — $N = 70$.$$N = 70$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Восстановление натурального числа

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8. Пусть $x$ — загаданное число.$$Ax+B-C=249$$
2. 2
   Проверяем подходящее сочетание коэффициентов: $A=8$, $B=7$, $C=6$. Получаем:$$8x+7-6=249$$

Ещё 2 шага — в полном решении