Задание 21 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 33. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 4?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=33$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=33,\quad a+b=32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Рассмотрим дугу от А до Г, проходящую через В. Её длина равна сумме расстояний АВ и ВГ.$$50 + 40 = 90$$
2. 2
   Кратчайшая дуга между А и Г имеет длину 60 км, поэтому длина всей кольцевой дороги равна:$$90 + 60 = 150$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число жильцов в доме

В доме всего четырнадцать квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $s$ суммарное число жильцов в 11-й и 12-й квартирах. Тогда в квартирах с 1-й по 10-ю живёт $14-s$ человек.$$14-s \geq 10$$
2. 2
   Так как в каждой из первых десяти квартир живёт не менее одного человека, получаем $s \leq 4$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них равны 21, 11 и 4. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. 1
   Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$.
2. 2
   По данным периметров получаем:$$a+c=\frac{21}{2},\quad b+c=\frac{11}{2},\quad b+d=\frac{4}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 14 и 12. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников выражаются так:$$2(a+c)=13,\quad 2(b+c)=14,\quad 2(b+d)=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов:$$9 \cdot 8 = 72$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$N=\dfrac{72}{2}=36$$

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее количество проводов, отходящих от всех столбов. Каждый из восьми столбов имеет по пять проводов.$$8 \cdot 5 = 40$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$40 : 2 = 20$$

Число жителей дома

В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше четырёх человек. В квартирах с 1-й по 6-ю включительно живёт суммарно 9 человек, а в квартирах…

1. 1
   Обозначим число жителей в квартирах с 4-й по 6-ю через $S$. В первых трёх квартирах живёт не менее трёх человек, поэтому из условия о первых шести квартирах получаем верхнюю границу:$$S \leq 9-3=6$$
2. 2
   В квартирах с 7-й по 10-ю может жить не более 16 человек, так как в каждой из них не более четырёх жителей. Поэтому из условия о квартирах с 4-й по 10-ю получаем нижнюю границу:$$S \geq 22-16=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $d$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$\Delta = 2d$$
2. 2
   Расстояние от красной полоски до середины ленты:$$d_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На каждом этаже расположено 6 квартир. Первые 48 квартир занимают 8 этажей:$$48 : 6 = 8$$
2. 2
   Квартира № 49 находится на следующем, девятом этаже.$$49 = 8 \cdot 6 + 1$$

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть первый этап длился $t$, а второй — $s$. Обозначим скорость Маши при еде варенья за $v$, тогда скорость Медведя равна $2v$.$$vt=2vs$$
2. 2
   Так как варенья они съели поровну, продолжительности этапов связаны соотношением $t=2s$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

1. 1
   Посчитаем общее число концов проводов, отходящих от всех столбов.$$10 \cdot 7 = 70$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$70 : 2 = 35$$

Изменение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

1. 1
   Обозначим два множителя через $x$ и $y$. По условию увеличение каждого множителя на 1 увеличивает произведение на 11:$$(x+1)(y+1)-xy=11$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$x+y+1=11,\quad x+y=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 21 и 27. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Отношение ширины левого и правого столбцов одинаково для верхней и нижней строк, поэтому$$\frac{14}{21} = \frac{x}{27}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$21x = 14 \cdot 27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Розы в синей вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: синяя, белая и фиолетовая. Слева от фиолетовой вазы 21 роза, справа от белой вазы 12 роз. Всего в вазах 26 роз. Сколько роз в синей вазе?

1. 1
   Обозначим количество роз в синей, белой и фиолетовой вазах соответственно через $b$, $w$ и $p$. По условию слева от фиолетовой вазы находится 21 роза, а справа от белой — 12 роз.$$b+w=21,\quad p=12$$
2. 2
   Всего в вазах 26 роз, поэтому количество роз в синей вазе можно найти как разность между количеством роз слева от фиолетовой вазы и количеством роз в белой вазе. Используя общую сумму, получаем:$$b=26-21+?$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 14 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 5 строк имеется 4 пары соседних клеток по горизонтали, поэтому горизонтальных пар $5 \cdot 4 = 20$.
2. 2
   Аналогично, вертикальных пар также $5 \cdot 4 = 20$. Всего пар соседних клеток:$$20 + 20 = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины верхнего и нижнего рядов через $a$ и $b$, а высоты левого и правого столбцов — через $c$ и $d$.$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   Сложим половины периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников.$$\frac{P_1}{2}+\frac{P_3}{2}=a+c+b+d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 8. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $x$ и $y$. По условию:$$(x+1)(y+1)-xy=8$$
2. 2
   Раскрываем скобки и находим сумму множителей:$$xy+x+y+1-xy=8 \Rightarrow x+y=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Для четырёх частей исходного прямоугольника произведения площадей противоположных частей равны.$$12 \cdot 30 = 18x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \dfrac{12 \cdot 30}{18} = 20$$

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр — на 1400 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3600 рублей и разностью 1400 рублей.$$a_1=3600,\quad d=1400,\quad n=8$$
2. 2
   Найдём стоимость восьмого метра.$$a_8=a_1+7d=3600+7\cdot1400=13400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении