Маша и Медведь съели 115 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…
- 1
Пусть Маша ест со скоростью $v$, Медведь — со скоростью $2v$. Общее время еды обозначим через $T$, а время, в течение которого Маша ела варенье, — через $t$.$$v t = 2v(T-t)$$
- 2
Сокращаем на $v$ и находим продолжительность первого этапа:$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…
- 1
Пусть $f$ — число этажей, $a$ — число квартир на этаже, $e$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно:$$f \cdot a \cdot e = 273$$
- 2
Разложим число $273$ на простые множители:$$273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?
- 1
Посчитаем общее количество концов проводов: от каждого из семи столбов отходит по четыре провода.$$7 \cdot 4 = 28$$
- 2
Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$28 : 2 = 14$$
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 124, во втором — 132, в третьем — 142, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$124+132+142=398$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, больше 27, но меньше 30. Следовательно, она может быть равна только 28 или 29.
Ещё 2 шага — в полном решении
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На…
- 1
Пусть на каждом этаже находится $x$ квартир. Тогда в одном подъезде $12x$ квартир.
- 2
Перед восьмым подъездом находятся семь подъездов, поэтому номер квартиры 468 удовлетворяет неравенству $7\cdot 12x < 468 \leq 8\cdot 12x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 2 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Обозначим наименьший угол через $x$. Тогда наибольший угол равен $2x$, а средний угол — $360 - 3x$.$$x + (360 - 3x) + 2x = 360$$
- 2
Средний угол должен быть больше наименьшего и меньше наибольшего:$$x < 360 - 3x < 2x$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий…
- 1
Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1700 рублей.$$a_1 = 3700,\quad d = 1700,\quad n = 8$$
- 2
Найдём сумму выплат за 8 метров по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 3700 + (8-1) \cdot 1700\right)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Пусть наименьший угол равен $x$ градусов, средний угол — $y$ градусов. Тогда наибольший угол равен $7x$ градусов.$$x+y+7x=360$$
- 2
Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-8x$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Оля живёт в квартире № 98. В каком подъезде живёт Оля?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 6 = 54$$
- 2
Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 54. Квартира № 98 находится во втором подъезде, так как 54 < 98 \leq 108.$$98 - 54 = 44$$
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Если разрезать…
- 1
При разрезе ленты в точке, находящейся на расстоянии $x$ от её середины, одна часть длиннее другой на $2x$.$$\Delta l = 2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 127, во втором — 136, в третьем — 146, а сумма…
- 1
Сумма всех чисел в таблице равна сумме сумм по трём столбцам:$$127+136+146=409$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 17 и меньшее 20, поэтому она равна 18 или 19.
Ещё 2 шага — в полном решении
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 6 больших фишек, отдав 9 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 79…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 9 фишек и получает 6, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$9 - 6 = 3$$
- 2
Обозначим число обменов через $x$. После $x$ обменов количество фишек составит 79.$$100 - 3x = 79$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если…
- 1
Если разрез проходит на расстоянии $x$ от середины ленты, разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины: $2x$.$$2x = d$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \frac{35}{2} = 17{,}5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или $-1$. После 11 прыжков координата может принимать значения от $-11$ до $11$.
- 2
Так как число прыжков нечётное, конечная координата должна быть нечётной. Получаем последовательность $-11,-9,-7,\ldots,9,11$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Клетки таблицы $7 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 16 пар соседних клеток разного цвета и 12 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…
- 1
В каждой из 7 строк есть 3 горизонтальные пары соседних клеток, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 3 = 21$.
- 2
Между соседними строками есть 6 границ, на каждой границе по 4 вертикальные пары, поэтому вертикальных пар $6 \cdot 4 = 24$.
Ещё 2 шага — в полном решении
На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если…
- 1
При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$2x$$
- 2
Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Ася, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Ася живёт в квартире № 57. В каком подъезде живёт Ася?
- 1
Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
- 2
В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 36. Квартира № 57 относится ко второму подъезду, так как $36 < 57 \leq 72$.$$2 \cdot 36 = 72$$
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 7 и 17. Найдите…
- 1
Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
- 2
Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…
- 1
Обозначим наименьший угол через $x$, средний угол через $y$, а наибольший через $5x$. Сумма углов вокруг точки равна $360^\circ$.$$x+y+5x=360$$
- 2
Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-6x$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по пять квартир. Петя живёт в квартире № 49. На каком этаже живёт Петя?
- 1
На каждом этаже расположено 5 квартир. Определим, в какую группу из пяти квартир попадает квартира № 49.$$\left\lceil \dfrac{49}{5} \right\rceil = 10$$
- 2
Первые 45 квартир занимают 9 этажей, поэтому квартира № 49 находится на 10-м этаже.$$9 \cdot 5 < 49 \leqslant 10 \cdot 5$$