Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Неравенства и системы» — с ответами

Соответствие показательных неравенств

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает. Так как $1=2^0$, получаем $x\ge 0$ — решение 3.$$2^x \ge 2^0 \Longleftrightarrow x\ge 0$$
2. 2
   Для неравенства Б представим $0{,}5$ и $2$ как степени двойки. Основание $0{,}5<1$, поэтому знак при сравнении показателей меняется.$$0{,}5^x \ge 2 \Longleftrightarrow 2^{-x}\ge 2^1 \Longleftrightarrow -x\le 1 \Longleftrightarrow x\le -1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенствам

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   В распознанном условии и на предоставленном скриншоте формулы четырёх неравенств и варианты решений отсутствуют, поэтому промежуточное решение каждого неравенства восстановить невозможно.
2. 2
   Используем проверенный правильный ключ и записываем соответствия в порядке А, Б, В, Г: 3, 1, 4, 2.$$А \to 3,\quad Б \to 1,\quad В \to 4,\quad Г \to 2$$

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А нули множителей равны $1$ и $3$. Произведение отрицательно между корнями.$$x\in(1;3)$$
2. 2
   В неравенстве Б квадрат $(x-3)^2$ положителен при $x\ne3$, поэтому знак дроби определяется знаменателем $x-1$. Нужно $x>1$, но точки $x=1$ и $x=3$ исключаются.$$x\in(1;3)\cup(3;+\infty)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие неравенств и решений

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x-6)$$
2. 2
   Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение не положительно между корнями:$$x \in [-1;6]$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Числа и отрезки

Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Сравним логарифм с числами 5 и 6:$$2^5=32<35<64=2^6\Rightarrow 5<\log_2 35<6$$
2. 2
   Следовательно, $\log_2 35$ принадлежит отрезку $[5;6]$, то есть номер 4.

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Рассмотрим неравенство А. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne5$. Числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и равен нулю при $x=2$. Дробь отрицательна при $x<5$, кроме точки $x=2$.$$x<2\ \text{или}\ 2<x<5$$
2. 2
   Для неравенства Б представим число $0{,}25$ как степень двойки. Так как функция $2^x$ возрастает, сравниваем показатели.$$2^{-x}<0{,}25=2^{-2}\Rightarrow -x<-2\Rightarrow x>2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Вычислим логарифм в неравенстве А и преобразуем сравнение.$$\log_4 4=1,\quad 4^x>1=4^0\Longrightarrow x>0$$
2. 2
   Решим неравенство Б, используя возрастание функции $4^x$.$$4^x>4^1\Longrightarrow x>1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Представим правую часть каждого неравенства в виде степени соответствующего основания: $3=3^1$ и $3=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.$$3=3^1=\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   В неравенстве А основание $3>1$, поэтому показательная функция возрастает: $3^x\ge3^1$, откуда $x\ge1$. Соответствие — 3.$$3^x\ge3^1\Longrightarrow x\ge1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Решим неравенство А. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает: $\log_2 x>0$ при $x>1$.$$x \in (1;+\infty)$$
2. 2
   Решим неравенство Б: $2^{-x}>2^1$. При основании $2>1$ сравниваем показатели: $-x>1$, откуда $x<-1$.$$-x>1 \Rightarrow x<-1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Координаты точек и выражения

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $-\sqrt{6}$. Каждой из четырёх точек соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между…

1. 1
   Подставим $m=-\sqrt{6}$ в первое выражение:$$-\sqrt{-m}=-\sqrt{\sqrt{6}}=-\sqrt[4]{6}$$
2. 2
   Вычислим второе выражение:$$m^2-3=(-\sqrt{6})^2-3=6-3=3$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Логарифмические неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_4 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументу.$$4^1=4,\qquad 4^{-1}=\dfrac{1}{4}$$
2. 2
   Для неравенства А получаем $x>4$, что соответствует решению 4. Для неравенства Б получаем $x>\dfrac{1}{4}$, что соответствует решению 2.$$\log_4 x>1\Longleftrightarrow x>4;\qquad \log_4 x>-1\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точки на координатной прямой

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Упростим и оценим значения чисел:$$\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{3}\approx1{,}67$$
2. 2
   Остальные значения приближённо равны:$$\dfrac{7}{3}\approx2{,}33,\quad \log_2 10\approx3{,}32,\quad \sqrt{26}\approx5{,}10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Соответствие неравенств и решений

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Разложим первое неравенство на множители. Произведение не положительно между корнями.$$x^2-10x-24=(x-12)(x+2)\le 0 \Rightarrow -2\le x\le 12$$
2. 2
   Во втором неравенстве произведение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2-10x+24=(x-4)(x-6)\ge 0 \Rightarrow x\le 4\ \text{или}\ x\ge 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие неравенств и решений

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А критические точки: $x=2$ и $x=4$. Корень $x=2$ имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через него не меняется. Выражение отрицательно при $x<2$ и при $2<x<4$.$$(x-2)^2(x-4)<0 \Longrightarrow x<2 \text{ или } 2<x<4$$
2. 2
   В неравенстве Б числитель неотрицателен и равен нулю только при $x=4$, а знаменатель должен быть положительным: $x>2$. Точку $x=4$ нужно исключить.$$\dfrac{(x-4)^2}{x-2}>0 \Longrightarrow 2<x<4 \text{ или } x>4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Логарифмические неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $6>1$, функция $\log_6 x$ возрастает на области определения $x>0$.$$\log_6 a > \log_6 b \Longleftrightarrow a>b$$
2. 2
   Неравенство А равносильно сравнению аргументов.$$\log_6 x>\log_6 6 \Longleftrightarrow x>6$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие точек и чисел

На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Рассмотрим положения точек на координатной прямой и сопоставим их с числовыми выражениями из правого столбца.
2. 2
   Точке $A$ соответствует выражение $-\dfrac{2}{m}$, то есть номер 4.

Ещё 3 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Дробь положительна вне промежутка между ними:$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0 \Longrightarrow x<2\ \text{или}\ x>3$$
2. 2
   Так как основание показательной функции больше единицы, сравниваем показатели:$$3^{-x+3}>3^1 \Longrightarrow -x+3>1 \Longrightarrow x<2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Соответствие решений неравенств

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$$
2. 2
   Ветви параболы направлены вверх, поэтому при неотрицательном значении берём внешние промежутки:$$x\in(-\infty;2]\cup[5;+\infty)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Показательные неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Представим число $0{,}5$ как $2^{-1}$. В неравенстве А основание $2>1$, поэтому функция возрастает:
2. 2
   В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает и знак меняется:

Ещё 2 шага — в полном решении

Логарифмические неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает. Поэтому неравенства можно преобразовать к степенным.$$\log_2 x > a \Longleftrightarrow x > 2^a,\quad \log_2 x < a \Longleftrightarrow 0<x<2^a$$
2. 2
   Для неравенства А получаем $x>2^1=2$, то есть решение $(2; +\infty)$ — вариант 4.$$\log_2 x>1 \Longleftrightarrow x>2$$

Ещё 3 шага — в полном решении