Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади.$$S = \dfrac{3 \cdot 25 \cdot 26}{4 \cdot \frac{325}{24}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{1950}{\frac{325}{6}} = 1950 \cdot \dfrac{6}{325} = 36$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{4+8}\sqrt{4\cdot 8\left((4+8)^2-(6\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(6\sqrt{2})^2=72,\quad (4+8)^2=144$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Возводим в квадрат известные стороны:$$a^2 = 4^2 = 16,\quad b^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24,\quad c^2 = 8^2 = 64$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 16 + 2 \cdot 24 - 64}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{88+105-137}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$r = \dfrac{193-137}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 21}{5 \cdot 14} = \dfrac{42}{70} = 0.6$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{4+16}\sqrt{4\cdot16\left((4+16)^2-(10\sqrt{3})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим значения в подкоренном выражении:$$(4+16)^2-(10\sqrt{3})^2=400-300=100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус по синусу

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ и $270^\circ<\alpha<360^\circ$.

1. 1
   Так как $270^\circ<\alpha<360^\circ$, угол находится в IV четверти, поэтому $\cos\alpha>0$.
2. 2
   Применим основное тригонометрическое тождество.$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=1-\dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хордам

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 11$, $BC = 60$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{3721} = 61$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса вписанной окружности:$$r = \dfrac{28+195-197}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$r = \dfrac{26}{2} = 13$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину второй диагонали из формулы площади:$$d_2=\frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2=\frac{2\cdot 8{,}75}{14\cdot\frac{1}{12}}=\frac{17{,}5\cdot 12}{14}=15$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 4…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \frac{4+13+15}{2} = 16$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$8{,}25 = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot d_2 \cdot \dfrac{1}{8}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$8{,}25 = \dfrac{11d_2}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади:$$S = \dfrac{16 \cdot 25 \cdot 39}{4 \cdot \frac{65}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{15600}{130} = 120$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 20}{10 \cdot 5} = \dfrac{40}{50} = 0.8$$

Диагональ четырёхугольника по площади

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину первой диагонали из формулы площади:$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_1 = \dfrac{2 \cdot 22{,}5}{12 \cdot \frac{5}{12}} = \dfrac{45}{5} = 9$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 12}{5 \cdot 16} = \dfrac{24}{80} = 0{,}3$$

Длина медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите длину медианы $m_c$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 11 - 2^2 = 18 + 22 - 4 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 18$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{900} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим синус угла $\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{17\cdot\frac{3}{17}}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin \alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \frac{2 \cdot 57{,}75}{11 \cdot \frac{7}{12}} = \frac{115{,}5 \cdot 12}{77} = 18$$