Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 17$, $AC = 16$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ делит основание $AC$ пополам, поэтому $AM = MC = 8$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
2. 2
   Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой. По теореме Пифагора для треугольника $ABM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$

Средняя линия трапеции

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 15$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.

1. 1
   Опустим из точки $C$ перпендикуляр на основание $AD$. Получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу $CD = 15$ и вертикальный катет, равный высоте трапеции $AB = 12$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$$
2. 2
   Нижнее основание состоит из верхнего основания и найденной горизонтальной проекции боковой стороны.$$AD = BC + x = 15 + 9 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора вокруг участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+75) = 210$$
2. 2
   Проезд не требует установки забора, поэтому вычтем его ширину:$$210-4=206$$

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,4 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине наклонной части горки, поэтому соответствующий ему малый треугольник подобен большому с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка.$$P = 2(25+70) = 190\ \text{м}$$
2. 2
   Проезд шириной 4 м не требует установки забора, поэтому вычтем его ширину из периметра.$$190-4=186\ \text{м}$$

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 18$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.

1. 1
   Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.$$\angle ABK = 60^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая к основанию $AC$, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB = 18$ — его гипотенуза.$$BK = AB \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 12\sin 150^\circ$$
2. 2
   Вычислим высоту трапеции.$$h = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество кафельных плиток

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,8 м и 5 м?

1. 1
   Найдём площадь стены:$$S_\text{стены} = 2{,}8 \cdot 5 = 14\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_\text{плитки} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, а высота фонаря равна 5 м?

1. 1
   Большой треугольник имеет высоту $5$ м и основание $x+9$ м, где $x$ — расстояние от фонаря до человека. Маленький треугольник имеет высоту $1{,}8$ м и основание $9$ м.
2. 2
   По подобию треугольников составим пропорцию:$$\dfrac{5}{x+9}=\dfrac{1{,}8}{9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба 15, одна из диагоналей равна 18. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна:$$\frac{18}{2}=9$$
2. 2
   Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали по теореме Пифагора:$$x=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 24$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 9. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ к основанию является также медианой. Поэтому$$AK = KC = \frac{AC}{2} = 12$$
2. 2
   Введём координаты: $K(0,0)$, $B(0,9)$, $C(12,0)$. Точка $P$ — середина отрезка $BC$, значит$$P\left(\frac{0+12}{2},\frac{9+0}{2}\right)=(6,4{,}5)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если…

1. 1
   Выразим гипотенузу $c$ из формулы радиуса:$$2r = a+b-c$$
2. 2
   Получаем:$$c = a+b-2r$$

Ещё 1 шаг — в полном решении