Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{12+16}\sqrt{12\cdot16\left((12+16)^2-14^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$12\cdot16\left(28^2-14^2\right)=192\cdot588=112896=336^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 67^\circ$ и $\angle BDC = 28^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC$$
2. 2
   Найдём угол при вершине $D$:$$\angle ADC = 67^\circ + 28^\circ = 95^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы. Так как $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{10}$, то $a^2 = 7$ и $b^2 = 10$.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7 + 2 \cdot 10 - 3^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем и найдём медиану.$$m_c = \dfrac{\sqrt{14 + 20 - 9}}{2} = \dfrac{\sqrt{25}}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, а высота фонаря 5 м?

1. 1
   Большой треугольник образован фонарём и всей длиной от фонаря до конца тени, то есть его основание равно $x+8$.
2. 2
   Малый треугольник образован человеком и его тенью длиной 8 м. Треугольники подобны, поэтому составим пропорцию:$$\dfrac{5}{x+8}=\dfrac{1{,}6}{8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы в сумме дают $180^\circ$. Поэтому два угла, сумма которых равна $120^\circ$, — это два острых угла по $60^\circ$.$$\alpha = \beta = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Это равносторонний треугольник, так как угол между сторонами равен $60^\circ$.$$a = d_{\text{меньш}} = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 28$, $\tg A = \dfrac{10}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Поэтому половина основания равна $14$.$$\dfrac{AC}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половиной основания. По определению тангенса найдём высоту.$$\tg A = \dfrac{h}{14} = \dfrac{10}{7},\quad h = 14 \cdot \dfrac{10}{7} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 21^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому угол между сторонами $AB$ и диагональю $AC$ равен углу $\angle ACD=21^\circ$.
2. 2
   Пусть $AB=a$. Тогда $AC=2a$. Направим ось вдоль $AC$. Диагональ $BD$ задаётся разностью векторов $\overrightarrow{AC}$ и $2\overrightarrow{AB}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 111^\circ$, угол $2 = 18^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол между первой секущей и параллельными прямыми является смежным с углом $1$.$$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$
2. 2
   Угол $2$ равен острому углу наклона второй секущей к параллельным прямым.$$\angle 2 = 18^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество плиток для стены

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?

1. 1
   Вычислим площадь стены:$$S_1 = 3{,}4 \cdot 4{,}6 = 15{,}64\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_2 = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{6}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 3. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $AM = MC$ и $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{1}{2}$.$$AM=MC,\quad \frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $A$. Их площади относятся как произведение отношений сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AM}{AC}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Катет в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $AC = \sqrt{19}$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Так как $ABCD$ — ромб, его стороны равны: $AB = BC = 5$. В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = BC = 5$ и $AC = \sqrt{19}$.$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём косинус угла $BAC$.$$25 = 25 + 19 - 10\sqrt{19}\cos \angle BAC,\quad \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{19}}{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 30. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$x = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$$
2. 2
   Наименьшая средняя линия соединяет середины гипотенузы и меньшего катета, поэтому равна половине меньшего катета:$$m = \frac{18}{2} = 9$$

Угол между секущими

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 22^\circ$, $\angle 2 = 138^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между второй секущей и прямой $n$ является смежным с углом $\angle 2$.$$180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$
2. 2
   Угол $\angle 3$ равен разности острого угла $42^\circ$ и угла $\angle 1$.$$\angle 3 = 42^\circ - 22^\circ = 20^\circ$$

Деление глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 21 параллель и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   21 параллель делит поверхность глобуса на 22 кольцевые полосы: между параллелями и между каждой крайней параллелью и полюсом.$$21 + 1 = 22$$
2. 2
   15 меридианов проходят от Северного до Южного полюса и делят каждую из 22 полос на 15 частей.$$22 \cdot 15 = 330$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 18 и 24. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть ширины двух столбцов равны $a$ и $b$, а высоты двух строк — $c$ и $d$. Тогда площади четырёх прямоугольников равны $ac$, $bc$, $bd$ и $ad$.
2. 2
   Произведение площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, одинаково:$$ac\cdot bd=bc\cdot ad$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, проведённой к ней.$$S = 8 \cdot 12 = 96$$
2. 2
   Та же площадь выражается через большую сторону и искомую высоту.$$S = 16h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хордам

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 10$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности кубического ящика

Ящик, имеющий форму куба с ребром 40 см без одной грани, нужно покрасить снаружи со всех сторон. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1. 1
   У куба шесть граней. Так как одна грань отсутствует, покрасить нужно пять граней.$$6 - 1 = 5$$
2. 2
   Площадь одной грани куба с ребром 40 см:$$S_1 = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении