Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 21^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Параллелограмм $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
4 шагаВ параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому угол между сторонами $AB$ и диагональю $AC$ равен углу $\angle ACD=21^\circ$.
Пусть $AB=a$. Тогда $AC=2a$. Направим ось вдоль $AC$. Диагональ $BD$ задаётся разностью векторов $\overrightarrow{AC}$ и $2\overrightarrow{AB}$.
Для двух равных по модулю векторов, угол между которыми равен $21^\circ$, их разность направлена под углом $90^\circ+\dfrac{21^\circ}{2}=100{,}5^\circ$ к первому вектору.
Угол между прямыми берут меньший из двух смежных углов: $180^\circ-100{,}5^\circ=79{,}5^\circ$.
Где здесь ошибаются
Путают угол между направлениями диагоналей с углом между лучами и записывают $100{,}5^\circ$ вместо меньшего угла.
Считают, что угол между $AB$ и $AC$ равен $21^\circ$ без обоснования через параллельность $AB$ и $CD$.