Планиметрия — 1 932 задачи

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 9 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 5,5 км. Чему равно расстояние между городами (в км), если на карте оно составляет 2 см?

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями.

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c=\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$, если $a=6$, $b=9$ и $c=5\sqrt{3}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину $\sin\alpha$, если $b = 3$, $c = 8$ и $S = 6$.

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13, 30, 37.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 44$, $b = 117$ и $c = 125$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 10$, $b = 9$, $c = 17$ и $R = \dfrac{85}{8}$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 57$, $b = 176$ и $c = 185$.

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности $R$, если $a = 14$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{7}$.

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину $\sin \alpha$, если $a=13$, $b=5$, $\sin \beta=\dfrac{1}{26}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой формулой, найдите $b$, если $a = 7$, $c = 9$, $S = 12\sqrt{5}$ и $r = \sqrt{5}$.

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 5, 122, 123.

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$, $b = 7$ и $c = 9$.

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$, $b = \sqrt{6}$ и $c = 4$.

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $b=9$, $\sin \alpha=\dfrac{1}{6}$ и $\sin \beta=\dfrac{1}{2}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 12$, $b = 17$, $c = 25$ и $R = \dfrac{85}{6}$.

Найдите $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{5}{\sqrt{34}}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.