ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = 13$, $c = 15$ и $R = \dfrac{65}{8}$ в формулу.$$S = \dfrac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot \frac{65}{8}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{780}{\frac{65}{2}} = 24$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha=\frac{5\cdot\frac{21}{25}}{7}=\frac{105}{175}=\frac{3}{5}=0{,}6$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \alpha = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a = 5$, $b = 8$ и $c = 7$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \alpha = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = 0{,}5$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2\cdot4^2 + 2\cdot(3\sqrt{2})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2\cdot4^2 + 2\cdot(3\sqrt{2})^2 - 2^2 = 32 + 36 - 4 = 64$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение стороны треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из формулы $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$.$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 2 \cdot 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 16$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$:$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a=20\cdot\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{6}}=20\cdot\frac{1}{10}\cdot6=12$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим значения $a=11$, $b=22$ и $c=21$ в формулу.$$l_c=\dfrac{1}{11+22}\sqrt{11\cdot22\left((11+22)^2-21^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$11\cdot22\left(33^2-21^2\right)=242\cdot648=156816=396^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Нахождение стороны треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из формулы радиуса описанной окружности.$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 2 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{5} = 24$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение двух сторон:$$a+b=14+21=35,\quad ab=14\cdot21=294$$
2. 2
   Найдём выражение под корнем:$$(a+b)^2-c^2=35^2-25^2=1225-625=600$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 4…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{4+51+53}{2} = 54$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{54(54-4)(54-51)(54-53)} = \sqrt{54 \cdot 50 \cdot 3 \cdot 1}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана треугольника по сторонам

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 6$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot (4\sqrt{2})^2 - 10^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 6^2 + 2 \cdot (4\sqrt{2})^2 - 10^2 = 72 + 64 - 100 = 36$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 6$…

1. 1
   Подставим значения $a = 6$, $b = 7$ и $c = 11$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 11^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 11^2 = 72 + 98 - 121 = 49$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 10…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{10+17+21}{2} = 24$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим $\sin\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{10\cdot\frac{22}{25}}{11}=\frac{220}{275}=0{,}8$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{3+6}\sqrt{3\cdot6\left((3+6)^2-(3\sqrt{7})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(3+6)^2-(3\sqrt{7})^2=81-63=18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{9+18}\sqrt{9\cdot18\left((9+18)^2-21^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$9\cdot18\left(27^2-21^2\right)=162\cdot288=46656$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c=\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Подставим данные в формулу длины биссектрисы.$$l_c=\dfrac{1}{6+12}\sqrt{6\cdot12\left((6+12)^2-(9\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$(9\sqrt{2})^2=162,\quad 6+12=18,\quad 6\cdot12\left(18^2-162\right)=72\cdot162=11664$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=23$…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу:$$r = \dfrac{23+264-265}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{22}{2} = 11$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{69 + 260 - 269}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{60}{2} = 30$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=52$…

1. 1
   Подставим значения $a=52$, $b=165$ и $c=173$ в формулу радиуса.$$r = \dfrac{52+165-173}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$r = \dfrac{44}{2}=22$$