Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 50 % меди, второй — 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % меди. Масса первого сплава равна 30 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(30 + x)$ кг.$$m_3 = 30 + x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах в сумме равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}5 \cdot 30 + 0{,}15x = 0{,}45(30 + x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Прибыль частных акционеров

Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 5 : 6 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 55 млн рублей. Какая сумма…

1. 1
   Всего долей прибыли: $5+6=11$. Частным акционерам принадлежит 6 долей.$$5+6=11$$
2. 2
   Найдём сумму, приходящуюся на частных акционеров:$$55\cdot\frac{6}{11}=5\cdot6=30$$

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние в одну сторону равно $S$ км. Тогда весь путь путешественника равен $2S$ км.$$S_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{18},\quad t_2 = \dfrac{S}{306}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси и сплавы

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20% никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение для массы никеля.$$0{,}1 \cdot 35 + 0{,}25x = 0{,}2(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём массу второго сплава.$$3{,}5 + 0{,}25x = 7 + 0{,}2x;\quad 0{,}05x = 3{,}5;\quad x = 70$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 420 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…

1. 1
   За первые два часа первый автомобиль проехал:$$s_1 = 60 \cdot 2 = 120\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями осталось:$$420 - 120 = 300\ \text{км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   По условию сумма набранных очков равна 60:$$5x - 8y = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 9 кг 20-процентного раствора вещества с 11 кг 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в каждом из растворов:$$m_1 = 9 \cdot 0{,}2 = 1{,}8\ \text{кг},\quad m_2 = 11 \cdot 0{,}4 = 4{,}4\ \text{кг}$$
2. 2
   Общая масса вещества равна $6{,}2$ кг, а общая масса раствора — $9 + 11 = 20$ кг.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа Поля и Оли

Поля и Оля пропалывают грядку за 14 минут, а одна Оля — за 112 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Поля?

1. 1
   Пусть $x$ — время, за которое одна Поля пропалывает грядку. Тогда производительность Поли равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту.
2. 2
   Составим уравнение для производительности совместной работы:$$\dfrac{1}{14} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{112}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 130 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Пусть каждая треть пути равна $s$. Тогда весь путь равен $3s$.
2. 2
   Найдём общее время движения автомобиля:$$t = \frac{s}{30} + \frac{s}{130} + \frac{s}{60}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Концентрация смешанного раствора

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Пусть каждого раствора взяли по $x$ единиц объёма. Тогда количество вещества в смеси равно $0{,}13x + 0{,}17x$.
2. 2
   Общий объём смеси равен $2x$, поэтому концентрация смеси составляет$$\frac{0{,}13x+0{,}17x}{2x}=0{,}15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   Составим уравнение по количеству набранных очков.$$7x - 11y = 84$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси сплавов с никелем

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй — 35 % никеля. Из этих двух сплавов получили сплав, содержащий 30 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля.$$0{,}15 \cdot 35 + 0{,}35x = 0{,}30(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и перенесём слагаемые.$$5{,}25 + 0{,}35x = 10{,}5 + 0{,}30x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося…

1. 1
   Пусть масса каждого раствора равна $m$. Масса вещества в первом растворе составляет $0{,}2m$, а во втором — $0{,}14m$.$$m_{\text{вещества}} = 0{,}2m + 0{,}14m = 0{,}34m$$
2. 2
   Масса получившегося раствора равна $2m$, поэтому его концентрация составляет:$$\dfrac{0{,}34m}{2m} \cdot 100\% = 17\%$$

Встречное движение автомобилей

Из двух городов, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

1. 1
   Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.$$v_{\text{сбл}} = 65 + 75 = 140\ \text{км/ч}$$
2. 2
   Найдём время до встречи, разделив расстояние между городами на скорость сближения.$$t = \dfrac{420}{140} = 3\ \text{ч}$$

Встречное движение автомобилей

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 270 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 160 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   К моменту встречи автомобиль, выехавший из города A, прошёл расстояние от города A до места встречи.$$s_A = 270 - 160 = 110\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём скорость автомобиля, разделив пройденное расстояние на время движения.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{110}{2} = 55\ \text{км/ч}$$

Деление поверхности глобуса

На поверхности глобуса фломастером проведены 15 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   20 меридианов делят поверхность глобуса на 20 частей.
2. 2
   Каждая из 15 параллелей пересекает все 20 меридианов и разбивается на 20 дуг. Каждая дуга добавляет одну часть поверхности.$$15 \cdot 20 = 300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 28 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+6$ км/ч.$$v_\text{п}=x,\quad v_\text{в}=x+6$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 28 км.$$2x+2(x+6)=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 140 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Весь путь автомобиля равен:$$S_{\text{общ}} = 200 + 180 + 140 = 520\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения на каждом участке и сложим его:$$t_{\text{общ}} = \dfrac{200}{60} + \dfrac{180}{90} + \dfrac{140}{120} = \dfrac{10}{3} + 2 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geqslant 1$.
2. 2
   Составим уравнение для набранных очков:$$7x - 11y = 84$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Встреча на пути к опушке

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 6,3 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Второй человек доходит до опушки за время$$t_1=\dfrac{6{,}3}{3{,}8}=\dfrac{63}{38}\text{ ч}$$
2. 2
   За это время первый человек проходит расстояние$$s_1=2{,}5\cdot\dfrac{6{,}3}{3{,}8}=\dfrac{315}{76}\text{ км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении