Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Средняя скорость автомобиля

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км — со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём весь пройденный путь:$$s = 140 + 160 + 120 = 420\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t = \dfrac{140}{50} + \dfrac{160}{60} + \dfrac{120}{100} = \dfrac{14}{5} + \dfrac{8}{3} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{20}{3}\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общее расстояние, пройденное автомобилем:$$S = 140 + 120 + 180 = 440\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{140}{70} = 2\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{120}{80} = 1{,}5\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{180}{120} = 1{,}5\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 272 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$ км. Тогда весь путь составляет $2S$ км.$$S_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{17},\quad t_2 = \dfrac{S}{272}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сплавы и массовая доля

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй — 45 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 45 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля:$$0{,}15 \cdot 45 + 0{,}45x = 0{,}35(45+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и решим уравнение:$$6{,}75 + 0{,}45x = 15{,}75 + 0{,}35x;\quad 0{,}1x = 9;\quad x = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Партии в настольный теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий…

1. 1
   В каждой партии один игрок остаётся за столом, проигравший уступает место ожидающему игроку.
2. 2
   При таком порядке смены игроков число партий Лёши на одну больше числа партий Миши.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик набрал 50 очков, составим уравнение:$$5x - 8y = 50$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = 10 + \frac{8y}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Встреча автомобилей на трассе

Расстояние между городами A и B равно 290 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч…

1. 1
   За три часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$55 \cdot 3 = 165\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями оставалось:$$290 - 165 = 125\ \text{км}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие три часа — со скоростью 100 км/ч, а затем один час — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём расстояние, пройденное на каждом участке пути:$$s_1 = 120 \cdot 1 = 120\ \text{км},\quad s_2 = 100 \cdot 3 = 300\ \text{км},\quad s_3 = 40 \cdot 1 = 40\ \text{км}$$
2. 2
   Определим общий путь и общее время движения:$$s = 120 + 300 + 40 = 460\ \text{км},\quad t = 1 + 3 + 1 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча на лесной дороге

Два человека одновременно отправляются из одного дома по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 1,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,4 км/ч, а второй — со скоростью 4,8 км/ч…

1. 1
   Найдём время, за которое второй человек дойдёт до опушки:$$t_1=\dfrac{1{,}5}{4{,}8}=0{,}3125\text{ ч}$$
2. 2
   За это время первый человек пройдёт:$$s_1=2{,}4\cdot0{,}3125=0{,}75\text{ км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда число набранных очков выражается уравнением:$$5x - 12y = 35$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = \dfrac{35 + 12y}{5} = 7 + \dfrac{12y}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 3 кг 30-процентного раствора вещества с 7 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе.$$3 \cdot 0{,}30 = 0{,}9\ \text{кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе и общую массу вещества.$$7 \cdot 0{,}10 = 0{,}7\ \text{кг};\quad 0{,}9 + 0{,}7 = 1{,}6\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. Тогда количество набранных очков задаётся уравнением:$$9x-14y=207$$
2. 2
   Преобразуем уравнение: $9x=207+14y$. Так как $207$ и $9x$ делятся на 9, число $14y$ также должно делиться на 9. Поскольку 14 взаимно просто с 9, $y$ кратно 9.

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Расстояние от города A до места встречи равно разности общего расстояния и расстояния от города B до места встречи.$$s_A = 320 - 170 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   Автомобиль проехал это расстояние за 2 часа, поэтому его скорость равна отношению расстояния ко времени.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{150}{2} = 75\ \text{км/ч}$$

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 11 кг 28-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m_{\text{вещества}} = 11 \cdot 0{,}28 = 3{,}08\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса раствора увеличилась, а масса вещества осталась прежней:$$m_{\text{раствора}} = 11 + 3 = 14\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 19-процентного раствора вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяли в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому концентраций исходных растворов.$$c = \dfrac{19 + 17}{2}$$
2. 2
   Вычислим концентрацию смеси.$$c = \dfrac{36}{2} = 18\%$$

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 5 минут…

1. 1
   Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{20}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{21}$ часа.
2. 2
   Петя затратил на выполнение на 5 минут больше. Переведём 5 минут в часы: $5$ минут $= \dfrac{1}{12}$ часа.$$\frac{x}{20} - \frac{x}{21} = \frac{1}{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смешанного раствора

Смешали 7 кг 25-процентного раствора вещества с 8 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе:$$7 \cdot 0{,}25 = 1{,}75\ \text{кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе:$$8 \cdot 0{,}10 = 0{,}8\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ответы на вопросы викторины

Список заданий викторины состоял из 65 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=65$$
2. 2
   По условию о набранных очках получаем уравнение:$$9x-17y=153$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Составление сплава

Имеется два сплава. Первый содержит 50 % никеля, второй — 15 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25 % никеля. Масса первого сплава равна 50 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Масса никеля в исходных сплавах должна быть равна массе никеля в полученном сплаве.$$0{,}5 \cdot 50 + 0{,}15x = 0{,}25(50+x)$$
2. 2
   Решим уравнение.$$25+0{,}15x=12{,}5+0{,}25x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распилы по линиям разных цветов

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 8 кусков, а если по зелёным — 14 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n-1$ распилов.$$7-1=6,\quad 8-1=7,\quad 14-1=13$$
2. 2
   На палке всего отмечено 26 линий, поэтому при распиле по всем линиям число кусков на один больше числа распилов.$$6+7+13+1=27$$