Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 16 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 496 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…
- 1
Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Тогда общее расстояние составляет $2s$, а общее время движения равно сумме времён пути туда и обратно.$$t = \dfrac{s}{16} + \dfrac{s}{496}$$
- 2
Средняя скорость равна отношению общего расстояния ко всему времени движения.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{16} + \frac{s}{496}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 15 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.
- 2
Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}15 \cdot 60 + 0{,}4x = 0{,}2(60+x)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Расстояние между городами A и B равно 670 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль…
- 1
До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$670 - 400 = 270\ \text{км}$$
- 2
Пусть первый автомобиль находился в пути $t$ часов. Второй автомобиль выехал на 2 часа позже, поэтому был в пути $t - 2$ часа.$$90(t - 2) = 270$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Весь путь автомобиля равен:$$S = 110 + 100 + 150 = 360\ \text{км}$$
- 2
Найдём общее время движения:$$t = \dfrac{110}{60} + \dfrac{100}{90} + \dfrac{150}{100} = \dfrac{11}{6} + \dfrac{10}{9} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{40}{9}\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Смешали 9 кг 35-процентного раствора вещества с 11 кг 15-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в каждом растворе:$$m_1 = 9 \cdot 0{,}35 = 3{,}15\ \text{кг},\quad m_2 = 11 \cdot 0{,}15 = 1{,}65\ \text{кг}$$
- 2
Общая масса вещества равна:$$m = 3{,}15 + 1{,}65 = 4{,}8\ \text{кг}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 20 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 40 кг. Найдите массу третьего…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $40+x$ кг.
- 2
Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}45 \cdot 40 + 0{,}2x = 0{,}4(40+x)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 100 км/ч, а последнюю — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…
- 1
Пусть весь путь равен $3s$. Тогда каждая из трёх частей пути имеет длину $s$.$$S=3s$$
- 2
Найдём общее время движения как сумму времени на каждой части пути.$$t=\dfrac{s}{60}+\dfrac{s}{100}+\dfrac{s}{30}=s\left(\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{30}\right)=\dfrac{3s}{50}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…
- 1
Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $p$ — стоимость бір литра кваса. По условию:$$b+p=40,\quad b+2p=70$$
- 2
Вычтем первое равенство из второго и найдём стоимость бір литра кваса:$$p=70-40=30$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие два часа — со скоростью 85 км/ч, а затем три часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…
- 1
Вычислим путь на каждом участке движения.$$S_1 = 2 \cdot 120 = 240\ \text{км},\quad S_2 = 2 \cdot 85 = 170\ \text{км},\quad S_3 = 3 \cdot 50 = 150\ \text{км}$$
- 2
Найдём весь путь и общее время движения.$$S = 240 + 170 + 150 = 560\ \text{км},\quad t = 2 + 2 + 3 = 7\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Смешали некоторое количество 18-процентного раствора вещества с таким же количеством 20-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому их концентраций.$$c = \dfrac{c_1 + c_2}{2}$$
- 2
Подставим значения концентраций:$$c = \dfrac{18 + 20}{2} = 19\%$$
Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём общий путь автомобиля:$$S = 110 + 130 + 180 = 420\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$T = \dfrac{110}{50} + \dfrac{130}{100} + \dfrac{180}{120} = 2{,}2 + 1{,}3 + 1{,}5 = 5\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 73…
- 1
За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 4, поэтому общее количество фишек уменьшается на 7.$$11 - 4 = 7$$
- 2
Если Петя совершил $x$ обменов, то после них осталось 73 фишки.$$150 - 7x = 73$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Список заданий викторины состоял из 60 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 ұпай, за неправильный ответ с него списывали 17 ұпай, а при отсутствии ответа давали 0 ұпай. Ученик…
- 1
Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неверных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=60$$
- 2
По условию о набранных очках составим уравнение:$$9x-17y=153$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Первый насос наполняет бак за 10 минут, второй — за 14 минут, а третий — за 35 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?
- 1
Производительности насосов равны соответственно $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{14}$ и $\dfrac{1}{35}$ бака в минуту.$$\frac{1}{10},\ \frac{1}{14},\ \frac{1}{35}$$
- 2
При одновременной работе производительности складываются:$$\frac{1}{10}+\frac{1}{14}+\frac{1}{35}=\frac{7+5+2}{70}=\frac{14}{70}=\frac{1}{5}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуд, содержащий 9 кг 10-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}1 = 0{,}9\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса раствора станет равна:$$M = 9 + 6 = 15\ \text{кг}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…
- 1
Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Время движения туда и обратно составляет $\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}$, а весь путь равен $2s$.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}}$$
- 2
Сократим на $s$ и вычислим среднюю скорость.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 18 \cdot 306}{18+306} = \dfrac{11016}{324} = 34$$
Имеется два сплава. Первый содержит 35 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля:$$0{,}35 \cdot 35 + 0{,}5x = 0{,}45(35+x)$$
- 2
Раскроем скобки и перенесём слагаемые:$$12{,}25 + 0{,}5x = 15{,}75 + 0{,}45x$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 12 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…
- 1
Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея равна:$$v_С=\dfrac{1}{12}$$
- 2
Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{8},\quad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{48}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 13 вопросов теста, а Ваня — на 15. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 40 минут…
- 1
Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{13}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{15}$ часа.$$\frac{x}{13},\quad \frac{x}{15}$$
- 2
Петя потратил на выполнение на $40$ минут, то есть на $\dfrac{2}{3}$ часа больше Вани.$$\frac{x}{13}-\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 280 км от города B. Найдите скорость…
- 1
Место встречи находится в 280 км от города B, поэтому расстояние от города A до места встречи равно:$$480 - 280 = 200\ \text{км}$$
- 2
Автомобиль из города A проехал 200 км за 4 часа. Найдём его скорость:$$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{200}{4} = 50\ \text{км/ч}$$