Базалық математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Средняя скорость автомобиля

Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 100 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 150 + 200 + 100 = 450\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{150}{60} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{100}{100} = 1\ \text{ч}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 14-процентного раствора вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому концентраций исходных растворов.$$c = \dfrac{14 + 18}{2}$$
2. 2
   Вычислим концентрацию смеси:$$c = \dfrac{32}{2} = 16\%$$

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 8 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 30…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 8 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$8 - 4 = 4$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 20.$$50 - 30 = 20$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 9 кг 16-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}16 = 1{,}44\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменяется, а масса раствора становится равной:$$M = 9 + 3 = 12\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 49 км. Путь из А в В занял у туриста 14 часов, из которых 7 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 3$ км/ч.
2. 2
   На подъём турист затратил $14 - 7 = 7$ часов. Поэтому длина спуска равна $7x$ км, а длина подъёма — $7(x - 3)$ км.$$7x + 7(x - 3) = 49$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 110 км, между А и В — 85 км, между В и Г — 80 км, между Г и А — 55 км. Все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Расстояние между А и Б равно 110 км. Это половина длины кольцевой дороги, поэтому её длина составляет:$$L = 2 \cdot 110 = 220\ \text{км}$$
2. 2
   Расстояния от А до В и от А до Г в сумме дают 140 км, а кратчайшее расстояние между В и Г равно 80 км. Следовательно, В и Г находятся по разные стороны от А на соответствующих дугах.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 6 поперечных распилов, в итоге получилось 15 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый поперечный распил увеличивает количество частей на один кусок.$$N = n + 6$$
2. 2
   Выразим количество досок:$$n = 15 - 6 = 9$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Катя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Катя живёт в квартире № 63. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Первый подъезд содержит квартиры с номерами от 1 до 36. Второй подъезд начинается с квартиры № 37 и содержит квартиру № 63.$$36 < 63 \leq 72$$

Розы в фиолетовой вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: фиолетовая, зелёная и красная. Слева от красной вазы 18 роз, справа от зелёной вазы 11 роз. Всего в вазах 27 роз. Сколько роз в фиолетовой вазе?

1. 1
   По условиям зелёная ваза стоит слева, красная — справа, а фиолетовая — между ними. Обозначим количество роз в вазах через $з$, $ф$ и $к$ соответственно.$$з + ф = 18,\quad ф + к = 11,\quad з + ф + к = 27$$
2. 2
   Складываем первые два равенства:$$з + 2ф + к = 29$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Определение подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Катя, 5 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Катя живёт в квартире № 22. В каком подъезде живёт Катя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде: на каждом из 5 этажей по 3 квартиры.$$5 \cdot 3 = 15$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами 1–15, во втором — с номерами 16–30. Квартира № 22 относится ко второму подъезду.$$16 \leq 22 \leq 30$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Сумма трёх указанных участков образует длину кольцевой дороги:$$L=45+40+35=120$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно $60$ км, то есть половине длины кольцевой дороги. Поэтому точки Б и В расположены на одной полуокружности относительно А, и расстояние между ними равно разности расстояний от А:$$BV=AB-AV=60-45=15$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 30 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   По данным расстояния между А, В и Г последовательно образуют всю кольцевую дорогу:$$L = 30 + 25 + 45 = 100$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно $50$ км, то есть половине длины дороги. Поэтому Б расположена на расстоянии $50$ км от А.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 9 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый распил увеличивает общее число кусков на один. Поэтому число кусков равно числу досок плюс число распилов.$$x + 9 = 17$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 17 - 9 = 8$$

Определение нөмір подъезда

В доме, в котором живёт Ира, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Ира живёт в квартире № 86. В каком подъезде живёт Ира?

1. 1
   Определим количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   Первые три подъезда содержат $3 \cdot 25 = 75$ квартир. Квартира № 86 находится после них, значит, в четвёртом подъезде.$$75 < 86 \leq 100$$

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое пяти различных натуральных чисел равно 6. Среднее арифметическое этих чисел и шестого числа равно 7. Чему равно шестое число?

1. 1
   Сумма пяти чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_5 = 5 \cdot 6 = 30$$
2. 2
   Сумма пяти чисел и шестого числа равна:$$S_6 = 6 \cdot 7 = 42$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число жильцов в доме

В доме всего девятнадцать квартир с номерами от 1 до 19. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 16 человек, а в…

1. 1
   Обозначим через $x$ количество жильцов в квартирах с 9-й по 12-ю. В этой группе 4 квартиры, поэтому $4 \leq x \leq 12$.
2. 2
   В первых сегіз квартирах живёт $16-x$ Адам. Так как в каждой из них не меньше бір адам, получаем $16-x \geq 8$, то есть $x \leq 8$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Подсчёт проводов между столбами

Девять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими девятью столбами?

1. 1
   Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов.$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте концов каждый провод учтён дважды.$$36 : 2 = 18$$

Количество подъездов в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $a$ — число подъездов, $b$ — число квартир на этаже, $c$ — число этажей. Тогда $abc = 110$ и $c > b > a > 1$.$$abc = 110$$
2. 2
   Число $110$ раскладывается на три множителя, удовлетворяющих условию строгого возрастания: $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если…

1. 1
   Если полоса находится на расстоянии $x$ от середины ленты, то при разрезе разность длин частей равна $2x$.$$2x = \Delta$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\text{ см}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Розы в красной вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, красная и зелёная. Слева от зелёной вазы 13 роз, справа от оранжевой вазы 25 роз. Всего в вазах 32 розы. Сколько роз в красной вазе?

1. 1
   Оранжевая ваза находится слева от зелёной, поэтому розы в красной вазе входят и в число роз слева от зелёной вазы, и в число роз справа от оранжевой вазы.$$13 + 25 = 32 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в красной вазе:$$x = 13 + 25 - 32 = 6$$