Установите соответствие между функциями и их областями определения.
- 1
Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$$u(x)\geq 0$$
- 2
Для функции А решаем неравенство $x-3\geq0$. Область определения: $[3; +\infty)$, это номер 4.$$x-3\geq0\Rightarrow x\geq3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как $7>1$, функция $7^x$ возрастает, поэтому сравнение показательных выражений можно заменить сравнением их показателей.
- 2
Для неравенства А: $\log_7 7=1$, поэтому $7^x>1=7^0$, откуда $x>0$. Соответствует решению 2.$$7^x>\log_7 7 \Longleftrightarrow 7^x>7^0 \Longleftrightarrow x>0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А разложим трёхчлен на множители:$$x^2 - 6x - 40 = (x+4)(x-10)$$
- 2
Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение неотрицательно вне корней и неположительно между ними. Поэтому для А решение $[-4;10]$, то есть номер 2.$$-4 \le x \le 10$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
А) Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает. Поэтому $\log_2 x>0$ при $x>1$.$$x \in (1; +\infty)$$
- 2
Б) Представим правую часть как степень двойки. Поскольку показательная функция с основанием $2>1$ возрастает, получаем $-x>1$, то есть $x<-1$.$$2^{-x}>2^1 \Longleftrightarrow -x>1 \Longleftrightarrow x<-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\sqrt{3}$. Каждой точке соответствует одно из чисел, указанных в правом столбце.
- 1
Подставим $m=\sqrt{3}$ в каждое выражение.
- 2
Получаем значения: $m+1=\sqrt{3}+1\approx2{,}73$, $m^3=(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}\approx5{,}20$, $\sqrt{m}=\sqrt[4]{3}\approx1{,}32$, $\dfrac{6}{m}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\approx3{,}46$.$$m+1\approx2{,}73;\quad m^3\approx5{,}20;\quad \sqrt{m}\approx1{,}32;\quad \frac{6}{m}\approx3{,}46$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А нули множителей равны $1$ и $2$. Произведение отрицательно между корнями:$$(x-1)(x-2)<0\quad\Longrightarrow\quad 1<x<2$$
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точка $x=2$ исключается:$$\dfrac{x-1}{x-2}>0\quad\Longrightarrow\quad x<1\ \text{или}\ x>2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\log_2 5$. Установите соответствие между указанными точками и числами, которые им соответствуют.
- 1
Оценим значение логарифма: $m=\log_2 5\approx2{,}32$.
- 2
Вычислим значения выражений: $m-2\approx0{,}32$, $4-m\approx1{,}68$, $\dfrac{6}{m}\approx2{,}58$, $m^2\approx5{,}39$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя функциями и их областями определения.
- 1
Для каждой функции нужно найти область определения и сопоставить её с одной из четырёх предложенных областей. Формулы функций и сами области определения на предоставленном скриншоте не отображаются.
- 2
По проверенному правильному ответу соответствия имеют вид: А–4, Б–1, В–2, Г–3.$$4123$$
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим квадратные трёхчлены на множители и найдём их корни.$$x^2+11x-12=(x+12)(x-1),\quad x^2-11x-12=(x+1)(x-12)$$
- 2
Так как коэффициент при $x^2$ положительный, неравенство с знаком $\le 0$ выполняется между корнями.$$А:\ -12\le x\le 1\Rightarrow 2;\quad Б:\ -1\le x\le 12\Rightarrow 1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим правые части и основание $0{,}5$ как степени двойки: $2 = 2^1$, $0{,}5 = 2^{-1}$.$$0{,}5^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$$
- 2
Решим неравенство А. Функция $2^x$ возрастает, поэтому направление неравенства сохраняется.$$2^x \ge 2^1 \Longleftrightarrow x \ge 1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Число $m$ равно $\sqrt{0{,}5}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Вычислим первое число:$$\sqrt{6+m}=\sqrt{6+\sqrt{0{,}5}}\approx2{,}59\in[2;3]$$
- 2
Вычислим второе число:$$-m-1=-\sqrt{0{,}5}-1\approx-1{,}71\in[-2;-1]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=\dfrac{3}{2}$$
- 2
Вычисляем первое выражение:$$-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{3/2}=-\dfrac{2}{3}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни и разложим выражение на множители.$$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$$
- 2
Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x \le 2 \text{ или } x \ge 5$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $2$ и $6$. Знак дроби положителен вне промежутка между ними:$$\dfrac{x-2}{x-6}>0 \Longrightarrow x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$
- 2
В неравенстве Б множитель $(x-2)^2$ неотрицателен и не меняет знак, а множитель $x-6$ отрицателен при $x<6$. Точка $x=2$ исключается как нуль выражения:$$(x-2)^2(x-6)<0 \Longrightarrow x\in(-\infty;2)\cup(2;6)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
- 1
Оценим первое число:$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx1{,}73+2{,}24=3{,}97\in[3;4]$$
- 2
Оценим второе число:$$\sqrt{3}:\sqrt{5}\approx1{,}73:2{,}24\approx0{,}77\in[0;1]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Так как $7>1$ и $0<0{,}5<1$, значение логарифма отрицательно:$$\log_{7}0{,}5\approx -0{,}36$$
- 2
Вычислим значение выражения с отрицательной степенью:$$\left(\frac{23}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{23}\approx 0{,}13$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце.
- 1
Подставим $m=\sqrt{2}$ в первое выражение:$$2m-5=2\sqrt{2}-5\approx-2{,}17$$
- 2
Это число соответствует точке $A$, расположенной левее числа $-2$. Поэтому $A$ соответствует номеру 1.
Ещё 6 шагов — в полном решении
Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Вычислим значение выражения А:$$2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx2\cdot1{,}41-1{,}73=1{,}09\in[1;2]$$
- 2
Вычислим значение выражения Б:$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45\in[2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим левую часть первого неравенства на множители: корни равны $4$ и $5$. Так как знак неравенства $≥ 0$, берём внешние промежутки.$$x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty;4] \cup [5;+\infty)$$
- 2
Корни второго неравенства равны $-2$ и $10$. При знаке $≤ 0$ берём промежуток между корнями.$$x^2 - 8x - 20 = (x+2)(x-10) \le 0 \Rightarrow x \in [-2;10]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Оценим первое число: так как $3^0 < 2 < 3^1$, то $0 < \log_3 2 < 1$.$$0 < \log_3 2 < 1$$
- 2
Для третьего числа имеем $1 < \sqrt{3{,}5} < 2$, поскольку $1^2 < 3{,}5 < 2^2$.
Ещё 3 шага — в полном решении