Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Для неравенства А выражение $(x-1)^2$ неотрицательно и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<4$, но точки $x=1$ и $x=4$ не входят в решение.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$

Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $x=1$ и $x=4$ исключаются.

Для неравенства А разложим выражение на множители: корни равны $-1$ и $6$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, решение неравенства $\le 0$ находится между корнями.$$x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x-6),\quad -1 \le x \le 6$$

Для неравенства Б корни равны $2$ и $3$. При знаке $\ge 0$ берём внешние промежутки.$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3),\quad x \le 2\ или\ x \ge 3$$

В неравенстве А числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=2$, а знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 5$. Дробь отрицательна только при $x<5$ и $x\ne 2$.

В неравенстве Б представим $0{,}25$ как $2^{-2}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x<-2$, откуда $x>2$.

Оценим первое выражение:$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx1{,}73+2{,}24\approx3{,}97$$

Оценим второе выражение:$$\sqrt{3}:\sqrt{5}\approx1{,}73:2{,}24\approx0{,}77$$

Решим неравенство А. Числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и равен нулю при $x=2$, знаменатель отрицателен при $x<5$. Поэтому дробь отрицательна при $x<5$, кроме $x=2$, а точка $x=5$ не входит в область определения.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;5)$$

Решим неравенство Б: $0{,}25=2^{-2}$. Так как основание степени больше единицы, сравниваем показатели.$$2^{-x}<2^{-2}\Rightarrow -x<-2\Rightarrow x>2$$

Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:

Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями:

Оценим число $m$. Поскольку $4^1<6<4^2$, при основании логарифма $4>1$ имеем:$$1<\log_4 6<2$$

Вычитаем 2 из всех частей неравенства:$$-1<m-2<0$$

Вычислим или оценим первое число:$$\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx2{,}65+2\cdot1{,}41=5{,}47$$

Число $5{,}47$ принадлежит отрезку $[5;6]$, поэтому А — 4.

Так как основание логарифма $5>1$, функция $\log_5 x$ возрастает. Область определения: $x>0$.$$x>0$$

Для неравенства А получаем:$$\log_5 x\ge1\Longleftrightarrow x\ge5$$

В неравенстве А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает:$$2^x \ge 2^1 \Longleftrightarrow x \ge 1$$

В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает:$$0{,}5^x \ge 0{,}5^{-1} \Longleftrightarrow x \le -1$$

Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.

Для неравенства А получаем $x\ge 2^2=4$, то есть решение соответствует номеру 4.

Подставим $m=-\sqrt{5}$ в первое выражение:$$-\sqrt{-m}=-\sqrt{\sqrt{5}}\approx-1{,}5$$

Значение $-\sqrt{\sqrt{5}}$ соответствует точке $A$, поэтому $A$ — 1.

Для неравенства А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает. Получаем:$$2^x \ge 4 = 2^2 \Longrightarrow x \ge 2$$

Для неравенства Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает. При сравнении с $4=0{,}5^{-2}$ знак меняется:$$0{,}5^x \ge 0{,}5^{-2} \Longrightarrow x \le -2$$

Решим неравенство А. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает: $\log_2 x>0$ при $x>1$.$$x>1$$

Решим неравенство Б: $2^{-x}>2^1$. При основании $2>1$ сравниваем показатели: $-x>1$, откуда $x<-1$.$$-x>1 \Longrightarrow x<-1$$

Решим неравенство А. Квадрат $(x-2)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=2$, а знаменатель меняет знак в точке $x=1$. Дробь отрицательна при $x<1$.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-1}<0\Rightarrow x<1$$

В неравенстве Б представим правую часть как степень двойки. Так как функция $2^t$ возрастает, сравниваем показатели.$$2^{-x}<\dfrac12=2^{-1}\Rightarrow -x<-1\Rightarrow x>1$$

По координатной прямой определяем, что $m=-\dfrac{1}{2}$, а координаты точек равны: $A=-1{,}5$, $B=0{,}25$, $C\approx2{,}55$, $D=6$.$$m=-\dfrac{1}{2}$$

Вычислим значение первого выражения:$$\sqrt{6-m}=\sqrt{6+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{6{,}5}\approx2{,}55$$

Решим неравенство А. Область допустимых значений: $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает:$$\log_2(x-1)<1 \Longleftrightarrow x-1<2 \Longleftrightarrow x<3$$

С учётом области допустимых значений получаем решение $1<x<3$, то есть вариант 3.

Представим правую часть как степень с основанием $3$: $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$. Так как $3^x$ — возрастающая функция, знак неравенства сохраняется.

Функция $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ убывает, поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется.

Оценим первое число:$$\sqrt{11}+\sqrt{3}\approx3{,}32+1{,}73=5{,}05$$

Второе число равно:$$\sqrt{11}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{33}\approx5{,}74$$

Вычислим приближённые значения предложенных чисел.$$\sqrt{10}+\sqrt{2}\approx4{,}58$$

Для второго числа используем свойство корней.$$\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{5}\approx2{,}24$$