На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. По рисунку: $A=-3$, $m=-1{,}5$, $B=-1$, $C=1$, $n=2{,}5$, $D=4$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце…
- 1
По числовой прямой определяем значения чисел:$$m=-1{,}5,\quad n=2{,}5$$
- 2
Вычисляем произведение:$$mn=(-1{,}5)\cdot 2{,}5=-3{,}75$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим $4$ в виде степени числа $2$: $4 = 2^2$. Функция $2^x$ возрастает.$$2^x \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \ge 2$$
- 2
Для неравенств с основанием $0{,}5$ используем $0{,}5^x = 2^{-x}$. Эта функция убывает.$$0{,}5^x \ge 4 \Longleftrightarrow x \le -2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_{4}x$ возрастает. Область определения: $x>0$.
- 2
Для неравенства А возводим $4$ в обе части: $x\ge4^1=4$.$$\log_{4}x\ge1\Longleftrightarrow x\ge4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
По отметке на координатной прямой число $m$ находится между $2$ и $3$.
- 2
Для выражения $4-m$ получаем $1<4-m<2$, поэтому оно принадлежит отрезку $[1;2]$, то есть ему соответствует номер 2.$$1<4-m<2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По координатной прямой число $m$ находится между $1$ и $2$.
- 2
Для выражения $6-m$ имеем $4<6-m<5$, поэтому ему соответствует отрезок $[4;5]$, то есть номер 4.$$6-m\in[4;5]$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Каждому из четырёх неравенств соответствует одно из решений. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_{4}x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$x>0$$
- 2
Для неравенства А получаем $x>4^1=4$, то есть решение $(4;+\infty)$.$$\log_4 x>1\Longleftrightarrow x>4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Представим правую часть как степень двойки и сравним показатели:$$2^{-x+1}<2^{-1}\Rightarrow -x+1<-1\Rightarrow x>2$$
- 2
Решим неравенство Б методом интервалов. Числитель равен нулю при $x=5$, знаменатель — при $x=4$. Дробь отрицательна при $x<4$.$$\dfrac{(x-5)^2}{x-4}<0\Rightarrow x<4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для каждого неравенства нужно найти множество решений и сопоставить его с одним из четырёх вариантов справа.
- 2
По проверенному ключу соответствия для неравенств А, Б, В и Г равны соответственно 3, 1, 4 и 2.
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Так как основание логарифма $4>1$, функция возрастает: $\log_4 x>0$ тогда и только тогда, когда $x>4^0$.$$x>1$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим $16$ как степень числа $4$ и сравним показатели.$$4^{-x+7}>4^2 \Longrightarrow -x+7>2 \Longrightarrow x<5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По рисунку число $m$ расположено между $0$ и $1$, причём $m=\dfrac{1}{4}$.
- 2
Вычислим значение первого выражения:$$m-1=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для каждого неравенства определяем критические точки и исследуем знак выражения на промежутках.
- 2
Неравенство А имеет решение на промежутке между корнями $1$ и $3$.
Ещё 3 шага — в полном решении
На числовой прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По рисунку число $m$ находится между $2$ и $3$, то есть $2<m<3$.
- 2
Вычитаем 2: $0<m-2<1$. Значит, выражение $m-2$ соответствует точке $A$.
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Оценим первое выражение:$$\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx2{,}65+1{,}73=4{,}38$$
- 2
Оценим второе выражение:$$\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Вычислим значение выражения в пункте А:$$2m-5=2\sqrt{2}-5\approx2\cdot1{,}414-5\approx-2{,}17\in[-3;-2]$$
- 2
Вычислим значение выражения в пункте Б:$$m^3=(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\approx2{,}83\in[2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Число $m$ равно $\sqrt{2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Так как $m = \sqrt{2}$ и $1 < \sqrt{2} < 2$, получаем:$$m - 2 = \sqrt{2} - 2 \in [-1;0]$$
- 2
Прибавляем единицу к числу $m$:$$m + 1 = \sqrt{2} + 1 \in [2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Число $m$ равно $\sqrt{6}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
- 1
Для пункта А подставим $m=\sqrt{6}$ и оценим значение.$$-\sqrt{m}=-\sqrt[4]{6}\approx-1{,}57\in[-2;-1]$$
- 2
В пункте Б квадрат числа $m$ равен шести.$$m^2-3{,}5=(\sqrt{6})^2-3{,}5=6-3{,}5=2{,}5\in[2;3]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $3>1$, функция $\log_3 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$\log_3 x > a \Longleftrightarrow x>3^a,\qquad \log_3 x<a \Longleftrightarrow 0<x<3^a$$
- 2
Для неравенства А:$$\log_3 x>1 \Longleftrightarrow x>3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни: $x^2+8x+15=(x+5)(x+3)$. Так как старший коэффициент положителен и требуется значение не меньше нуля, решение состоит из внешних промежутков.$$x\in(-\infty;-5]\cup[-3;+\infty)$$
- 2
Для неравенства Б: $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. При знаке «$\ge 0$» берём внешние промежутки.$$x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 6 прыжков возможны только чётные координаты от $-6$ до $6$.$$x\in\{-6,-4,-2,0,2,4,6\}$$
- 2
Все перечисленные точки достижимы: число прыжков вправо и влево можно подобрать для каждой координаты.$$6-(-6)\,/\,2=6+1=7$$
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А нули выражения находятся в точках $x=2$ и $x=4$. Корень $x=2$ имеет чётную кратность, поэтому знак при переходе через него не меняется. Выражение отрицательно при $x<4$, но точки $2$ и $4$ не входят в решение.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;4)$$
- 2
В неравенстве Б числитель $(x-4)^2$ положителен, кроме точки $x=4$, а знаменатель положителен при $x>2$. Поэтому выражение положительно при $x>2$, за исключением $x=4$.$$x\in(2;4)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении