Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Представим число $0{,}5$ как степень двойки: $0{,}5 = 2^{-1}$.

Для неравенства А основание больше единицы, поэтому знак сохраняется: $2^x \geq 2^{-1}$, откуда $x \geq -1$. Это решение 1.

Так как основание $0{,}5$ находится между нулём и единицей, логарифмическая функция убывает. Область определения всех неравенств: $x>0$.$$0<0{,}5<1$$

Для неравенства А при переходе к показательной форме знак меняется:$$\log_{0,5}x\ge 1 \Longleftrightarrow x\le (0{,}5)^1=\frac12$$

Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $4$.

Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $3$ и $4$ исключаются.

Разложим выражение в неравенстве А на множители. Корни равны $4$ и $9$. При положительном старшем коэффициенте выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 13x + 36 = (x-4)(x-9),\quad x \le 4\ \text{или}\ x \ge 9$$

Для неравенства Б корни равны $-9$ и $-4$. Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 + 13x + 36 = (x+9)(x+4),\quad x \le -9\ \text{или}\ x \ge -4$$

Вычислим значение третьего числа:$$\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7$$

Точка $A$ расположена примерно в координате $0{,}7$, поэтому ей соответствует число 3.

Для неравенства А рассмотрим знаки множителей. Квадрат $(x-1)^2$ положителен при $x\ne1$, поэтому произведение отрицательно, когда $x-5<0$. Точка $x=1$ исключается как ноль выражения, а $x=5$ не входит в решение.

Для неравенства Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $1$ и $5$.

Так как основание логарифма $2>1$, функция $y=\log_2 x$ возрастает. Область допустимых значений: $x>0$.$$a>b \Longleftrightarrow 2^a>2^b$$

Решаем неравенство А: из $\log_2 x>1$ получаем $x>2^1=2$. Это решение 4.$$\log_2 x>1 \Longleftrightarrow x>2$$

В неравенстве А вычисляем логарифм: $\log_2 2=1$. Так как функция $2^x$ возрастает, получаем $x>0$.$$x\in(0; +\infty)$$

В неравенстве Б представляем число $4$ в виде $2^2$: $2^x>2^2$, откуда $x>2$.$$x\in(2; +\infty)$$

В неравенстве А множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и равен нулю только при $x=1$. Произведение отрицательно, когда $x<6$ и $x\ne1$.

В неравенстве Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точка $x=6$ исключается из области определения.$$\dfrac{x-1}{x-6}>0 \Longrightarrow x<1 \text{ или } x>6$$

Так как основание логарифма $3>1$, функция $\log_3 x$ возрастает. Область определения всех неравенств: $x>0$.

Для неравенства А возводим 3 в обе части: $x\ge3$. Это решение 1.$$\log_3 x\ge1\Longleftrightarrow x\ge3$$

Разложим левую часть первого неравенства на множители. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5) \ge 0,\quad x \in (-\infty;4] \cup [5;+\infty)$$

Разложим левую часть второго неравенства. Произведение неположительно между корнями.$$x^2 - 8x - 20 = (x + 2)(x - 10) \le 0,\quad x \in [-2;10]$$

Функция $2^x$ возрастает, поэтому при сравнении степеней с одинаковым основанием знак неравенства сохраняется.$$2^x \ge 1=2^0 \Rightarrow x\ge 0;\quad 2^x\le 1=2^0 \Rightarrow x\le 0$$

Основание $0{,}5$ меньше единицы, поэтому функция $0{,}5^x$ убывает, и при сравнении показателей знак неравенства меняется.$$2=0{,}5^{-1};\quad 0{,}5^x\le 0{,}5^{-1}\Rightarrow x\ge -1$$

Для неравенства А выражение $(x-1)^2$ неотрицательно и обращается в ноль при $x=1$. Поэтому произведение отрицательно только между корнями $1$ и $6$, но точка $x=1$ также исключается из-за строгого неравенства.$$(x-1)^2(x-6)<0\Rightarrow x\in(-\infty;1)\cup(1;6)$$

Для неравенства Б числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Точки $x=1$ и $x=6$ исключаются.$$\dfrac{x-1}{x-6}>0\Rightarrow x\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty)$$

Оценим первое выражение:$$\sqrt{7}+2\sqrt{2}\approx2{,}65+2\cdot1{,}41\approx5{,}06$$

Второе выражение равно:$$\sqrt{7}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{7}{2}}\approx1{,}87$$

Для неравенства А разложим трёхчлен на множители:$$x^2-10x-24=(x+2)(x-12)$$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $x\in[-2;12]$. Это решение 1.

Поскольку $2^2<5<2^3$, имеем $2<m<3$. Более точно, $m\approx2{,}32$.

Для первого числа: $m-2\approx2{,}32-2=0{,}32$, поэтому оно принадлежит отрезку $[0;1]$.

В неравенстве А основание $2>1$, поэтому функция возрастает: $2^x \ge 2^1$ при $x \ge 1$. Это решение 1.$$А: \quad x \in [1; +\infty)$$

В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает. Так как $0{,}5=2^{-1}$, получаем $x \le -1$. Это решение 3.$$Б: \quad 0{,}5^x \ge 0{,}5^{-1} \Longrightarrow x \le -1$$

Представим правую часть всех неравенств в виде степени с основанием $3$: $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$.$$\dfrac{1}{3}=3^{-1}$$

В неравенстве А основание $3>1$, поэтому функция возрастает: $3^x\geq 3^{-1}$ равносильно $x\geq -1$. Это решение 4.$$x\geq -1$$

Число, кратное 22, должно делиться на 2 и на 11. Для числа $69696$ последняя цифра чётная, поэтому оно делится на 2.

Проверим признак делимости на 11:$$6-9+6-9+6=0$$

Число больше 6500 и меньше 7500, поэтому его первая цифра может быть только 6 или 7. С учётом убывания цифр подходит начало с цифрой 6.

Для делимости на 15 число должно делиться на 3 и на 5. Последняя цифра при строгом убывании может быть равна 0 или 5. Возьмём последнюю цифру 0.