Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Делимость числа на 30

Вычеркните в числе 81567105 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число, делящееся на 30, должно делиться на 3 и на 10. Поэтому его последняя цифра должна быть 0, а сумма цифр — кратна 3.$$30 = 3 \cdot 10$$
2. 2
   Вычеркнем из числа 81567105 цифры 6, 7 и последнюю цифру 5. Получим число 81510.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 9.

1. 1
   Наибольшая возможная сотенная цифра — $8$, так как цифру $9$ использовать нельзя.
2. 2
   Наибольшая возможная десятковая цифра также равна $8$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число, кратное 18

Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, делящееся на 18, должно делиться на 2 и на 9. Поэтому его последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр — кратной 9.$$18=2\cdot 9$$
2. 2
   Рассмотрим число 2358. Оно четырёхзначное и находится между 2000 и 4000.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшее число из одинаковых цифр

Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 37.

1. 1
   Трёхзначные числа, записанные одинаковыми цифрами, начинаются с $111$ и далее увеличиваются: $111$, $222$, $333$ и так далее.
2. 2
   Проверим наименьшее из них:$$111 = 37 \cdot 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 18

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число $18$ на множители: $18 = 2 \cdot 9$. Поэтому искомое число должно делиться на $2$ и на $9.
2. 2
   Число $3222$ является чётным, так как оканчивается цифрой $2$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 4446. В ответе укажите какое-нибудь одно…

1. 1
   Обозначим цифры исходного числа как $a$, $b$, $c$, $d$. Тогда исходное число равно $1000a+100b+10c+d$, а число с цифрами в обратном порядке — $1000d+100c+10b+a$.
2. 2
   Исходное число кратно 5, поэтому $d$ равно 0 или 5. Поскольку после разворота получилось четырёхзначное число, $d\ne0$, значит $d=5$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Число с делимостью суммы цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 5; сумма цифр числа $(A+4)$ делится на 5; число $A$ больше 350 и меньше 400. В ответе запишите…

1. 1
   Так как $350 < A < 400$, число $A$ имеет вид $35x$, где $x$ — цифра от 0 до 9.$$A=350+x$$
2. 2
   Сумма цифр числа $A$ равна $3+5+x=8+x$. Она должна делиться на 5, поэтому $8+x$ может быть равно 10 или 15.$$x=2\text{ или }x=7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Делимость числа на 18

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно делиться на 18, то есть одновременно на 2 и на 9.
2. 2
   Число 54162 получается из числа 85417627 вычёркиванием цифр 8, 7 и последней 7.

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число по условию

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 15, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно оканчиваться на 0 или 5 и иметь сумму цифр, кратную 3.
2. 2
   Подберём пятизначную последовательность цифр, в которой соседние цифры отличаются на 3: 6, 3, 6, 3, 0.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число с цифрами

Найдите четырёхзначное число, большее 4000, но меньшее 6000, которое делится на 20 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число больше 4000, но меньше 6000, его первая цифра может быть только 4 или 5. Для делимости на 20 число должно оканчиваться на 0 и делиться на 4.
2. 2
   Подбираем число с первой цифрой 5 и строго убывающими цифрами: $5420$. Проверяем порядок цифр: $5 > 4 > 2 > 0$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 15

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число 1125 оканчивается цифрой 5, поэтому оно делится на 5. Сумма его цифр равна 1 + 1 + 2 + 5 = 9, поэтому число делится на 3.
2. 2
   Следовательно, число 1125 делится на 15. Произведение его цифр положительно и меньше 25:$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10 < 25$$

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 1 большую фишку, отдав 12 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 51…

1. 1
   За один обмен количество фишек уменьшается на 11: Петя отдаёт 12 фишек и получает 1 большую фишку.$$12 - 1 = 11$$
2. 2
   Общее уменьшение количества фишек составило 99.$$150 - 51 = 99$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшее кратное число

Найдите наименьшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.

1. 1
   Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $111a$, где $a$ — цифра от 1 до 9.$$111a$$
2. 2
   Разложим делитель на множители:$$74 = 2 \cdot 37$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5 даёт в остатке 2 и цифры в записи которого чётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число при делении на 3 и на 5 должно иметь остаток 2. Значит, оно имеет вид $15k+2$.$$n \equiv 2 \pmod{15}$$
2. 2
   Выберем трёхзначное число с чётными цифрами: $242$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является суммой двух других его цифр. В ответе запишите…

1. 1
   Пусть общий ненулевой остаток при делении числа на 5 и на 16 равен $r$. Тогда $r \in \{1,2,3,4\}$.
2. 2
   Так как число должно иметь одинаковые остатки при делении на 5 и на 16, оно сравнимо с $r$ по модулю $\operatorname{lcm}(5,16)=80$: $n=80k+r$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 12

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10.

1. 1
   Произведение четырёх цифр равно 10. Так как $10 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5$, цифры числа — 1, 1, 2 и 5.
2. 2
   Сумма цифр равна $1 + 1 + 2 + 5 = 9$, поэтому число делится на 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры 1; 1; 2; 3; 5; 8 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Разместим карточки так, чтобы получить числа $521$, $38$ и $1$. Все цифры из набора использованы ровно по одному разу.$$521 + 38 + 1$$
2. 2
   Вычислим сумму.$$521 + 38 + 1 = 560$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 18

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 16, но меньше 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное $18$, должно быть кратно $2$ и $9$. Число $3312$ оканчивается на чётную цифру, поэтому делится на $2$.$$3312 \div 2 = 1656$$
2. 2
   Сумма цифр числа $3312$ равна $9$, поэтому число делится на $9.$$3+3+1+2=9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 15 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим крайних его цифр.

1. 1
   Проверим число $123$. Его цифры: $1$, $2$ и $3$. Средняя цифра является средним арифметическим крайних:$$2 = \frac{1+3}{2}$$
2. 2
   При делении числа на $4$ получаем ненулевой остаток $3$:$$123 = 4 \cdot 30 + 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, делящееся на 24

Найдите шестизначное натуральное число, которое делится на 24 и записывается только цифрами 1 и 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $24 = 3 \cdot 8$, число должно делиться и на $3$, и на $8.
2. 2
   Рассмотрим число $122112$. Оно записывается только цифрами 1 и 2 и является шестизначным.

Ещё 2 шага — в полном решении