Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Решим неравенство А. Область определения: $x>3$. Так как основание логарифма $3>1$, имеем $x-3<3$, откуда $3<x<6$.$$\log_3(x-3)<1\Longleftrightarrow 0<x-3<3\Longleftrightarrow 3<x<6$$

Решим неравенство Б. Представим правую часть как степень пятёрки. При основании $5>1$ сравниваем показатели: $-x+2>-1$, откуда $x<3$.$$5^{-x+2}>\frac{1}{5}=5^{-1}\Longleftrightarrow -x+2>-1\Longleftrightarrow x<3$$

Вычислим первое число приближённо:$$\sqrt{6}+\sqrt{5}\approx2{,}45+2{,}24=4{,}69\in[4;5]$$

Вычислим второе число:$$\sqrt{6}:\sqrt{5}\approx2{,}45:2{,}24\approx1{,}10\in[1;2]$$

Вычислим первое число. Так как $4^{-1/2}=0{,}5$, получаем:$$\log_{4}0{,}5=-\frac{1}{2}=-0{,}5$$

Вычислим второе число:$$\frac{50}{11}\approx4{,}55$$

Разложим выражение в неравенстве А на множители. Корни равны $2$ и $4$. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),\quad x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$$

Для неравенства Б корни равны $-1$ и $8$. Требуется, чтобы выражение было неположительным, поэтому берём промежуток между корнями.$$x^2 - 7x - 8 = (x + 1)(x - 8),\quad x \in [-1; 8]$$

По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-2{,}5$$

Вычисляем значение первого выражения:$$\dfrac{m}{10}=\dfrac{-2{,}5}{10}=-0{,}25$$

Для неравенства А найдём корни трёхчлена:$$x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$$

Так как старший коэффициент положительный, выражение не больше нуля между корнями:$$x \in [-10; 3]$$

По координатной прямой видно, что $m$ примерно равно $1{,}8$.

Вычислим первое выражение: $\sqrt{m}\approx\sqrt{1{,}8}\approx1{,}34$, поэтому оно принадлежит отрезку $[1;2]$.

Для неравенства А критические точки — $3$ и $4$. Произведение отрицательно между корнями.

Для неравенства Б числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Точки $x=3$ и $x=4$ не входят в решение.$$\dfrac{x-3}{x-4}>0 \Longrightarrow x<3 \text{ или } x>4$$

Для неравенства А найдём корни уравнения $x^2 + 11x - 12 = 0$: $x_1 = -12$, $x_2 = 1$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, решение неравенства имеет вид промежутка между корнями: $[-12; 1]$. Соответствие: А—2.$$x^2 + 11x - 12 = (x + 12)(x - 1)$$

Для неравенства Б корни равны $-1$ и $12$. Решение: $[-1; 12]$. Соответствие: Б—1.$$x^2 - 11x - 12 = (x + 1)(x - 12)$$

Решим неравенство А. Так как основание логарифма $2>1$, знак сохраняется:$$\log_2 x>1\Longleftrightarrow x>2$$

Решим неравенство Б. Представим число $2$ как $2^1$ и сравним показатели:$$2^{-x}>2^1\Longleftrightarrow -x>1\Longleftrightarrow x<-1$$

Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 + 7x - 30 = (x + 10)(x - 3)$$

Так как требуется значение, не превышающее нуля, берём промежуток между корнями:$$x \in [-10; 3]$$

Оценим первое выражение: $2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx2\cdot1{,}414-1{,}732\approx1{,}10$. Оно соответствует точке $B$.$$2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx1{,}10$$

Второе выражение упрощается до корня из шести: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$. Оно соответствует точке $C$.$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$$

Так как основание логарифма $2>1$, функция $y=\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показательной форме.

Для неравенства А получаем $x>2^2=4$, то есть интервал $(4;+\infty)$. Ему соответствует решение 1.

За каждый прыжок координата изменяется на $1$ или на $-1$. После 8 прыжков координата лежит от $-8$ до $8$.

Так как число прыжков чётное, координата после 8 прыжков также должна быть чётной. Все значения от $-8$ до $8$ с чётным шагом достижимы:$$-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8$$

Для неравенства $(x-1)^2(x-4)<0$ множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<4$, кроме точки $x=1$.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$

Для неравенства $\dfrac{x-1}{x-4}>0$ дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.$$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$

Для неравенства А найдём корни: $x^2 - 13x + 36 = (x - 4)(x - 9)$. Так как старший коэффициент положителен, выражение неотрицательно вне корней: $x \in (-\infty; 4] \cup [9; +\infty)$. Это решение 2.$$(x - 4)(x - 9) \ge 0$$

Для неравенства Б: $x^2 + 13x + 36 = (x + 9)(x + 4)$. Решение: $x \in (-\infty; -9] \cup [-4; +\infty)$. Это решение 3.$$(x + 9)(x + 4) \ge 0$$

По координатной прямой видно, что $m>n>0$. Поэтому $n-m<0$, а отрицательному числу соответствует точка $A$.$$A\leftrightarrow n-m\quad (2)$$

Так как $0<n<m$, отношение $\dfrac{n}{m}$ лежит между $0$ и $1$. Ему соответствует точка $B$.$$B\leftrightarrow \dfrac{n}{m}\quad (3)$$

По координатной прямой видно, что число $m$ расположено между $0$ и $1$.

Так как $0<m<1$, то $3<4-m<4$. Следовательно, выражение $4-m$ принадлежит отрезку 4.

Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Знаменатель положителен вне промежутка между этими точками, поэтому$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Так как основание показательной функции больше единицы, сравниваем показатели:$$3^{-x+3}>3^1\quad\Longrightarrow\quad -x+3>1\quad\Longrightarrow\quad x<2$$

По координатной прямой видно, что $m$ — отрицательное число, расположенное немного левее $-2$, а $n$ — положительное число, расположенное немного левее $1$. Точка $A$ находится примерно в районе $-2$, точка $B$ — между $0$ и $1$, точка…

Произведение $mn$ отрицательно и по величине близко к $-2$, поэтому ему соответствует точка $A$.$$A=mn$$