Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вычислим или оценим значения чисел.$$\left(\dfrac{37}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{37}\approx0{,}08$$

Число $\dfrac{3}{37}$ соответствует точке $A$, расположенной немного правее нуля.

Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.$$\log_2 a > \log_2 b \Longleftrightarrow a>b$$

Для неравенства А получаем $x>4$, то есть решение 1.$$\log_2 x>\log_2 4\Longleftrightarrow x>4$$

Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Точка $x=2$ исключается из области определения, а $x=3$ обращает числитель в ноль. Знак положителен при $x>2$, кроме $x=3$.$$\dfrac{(x-3)^2}{x-2}>0\Longrightarrow x\in(2;3)\cup(3;+\infty)$$

В неравенстве Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $2$ и $3$.$$(x-2)(x-3)<0\Longrightarrow x\in(2;3)$$

По рисунку число $m$ расположено между $1$ и $2$, причём $1<m<2$.$$1<m<2$$

Вычитаем единицу и учитываем возрастание квадратного корня:$$0<\sqrt{m}-1<1$$

Так как $2^3=8<10<16=2^4$, получаем $3<\log_2 10<4$. Числу А соответствует отрезок 3.$$\log_2 10\in[3;4]$$

Делим $7$ на $3$: $\dfrac{7}{3}=2\dfrac{1}{3}$, поэтому число Б принадлежит отрезку $[2;3]$.$$\dfrac{7}{3}\in[2;3]$$

Подставим $m=-\sqrt{2{,}2}$ в первое выражение:$$3-m=3+\sqrt{2{,}2}\approx4{,}5$$

Вычислим второе выражение:$$-\frac{2}{m}=\frac{2}{\sqrt{2{,}2}}\approx1{,}35$$

Для неравенства А критические точки — $x=2$ и $x=3$. Дробь положительна вне этих точек.$$\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}>0\Longrightarrow x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

В неравенстве Б основание $3>1$, поэтому сравниваем показатели.$$3^{-x+3}>3^1\Longrightarrow -x+3>1\Longrightarrow x<2$$

Неравенство А: функция $2^x$ возрастает, поэтому из $2^x \ge 2^1$ следует $x \ge 1$. Это решение 3.$$x \in [1; +\infty)$$

Неравенство Б: основание $0{,}5$ меньше единицы, поэтому функция убывает. Так как $2 = 0{,}5^{-1}$, получаем $x \le -1$. Это решение 1.$$x \in (-\infty; -1]$$

Так как $5^1=5<20<25=5^2$, получаем $1<\log_5 20<2$. Числу А соответствует отрезок 2.$$А: \log_5 20\in[1;2]$$

Сравним дробь с числами 2 и 3: $2=\dfrac{26}{13}<\dfrac{29}{13}<\dfrac{39}{13}=3$. Числу Б соответствует отрезок 3.$$Б: \dfrac{29}{13}\in[2;3]$$

Подставим $m=-\sqrt{0{,}5}$ в выражения и определим их значения.

Вычислим значение второго выражения:$$m-1=-\sqrt{0{,}5}-1\approx-1{,}7$$

По координатной прямой видно, что $m=-2{,}5$.

Вычислим значение первого выражения:$$\dfrac{m}{10}=\dfrac{-2{,}5}{10}=-0{,}25\in[-1;0]$$

Считываем с координатной прямой значения чисел $m$ и $n$ и подставляем их в каждое из четырёх выражений.$$2m+n,\quad \dfrac{1}{m}+n,\quad -mn,\quad n^2-m^2$$

Полученные значения сопоставляем с координатами отмеченных точек на прямой.$$A\to n^2-m^2,\quad B\to -mn,\quad C\to \dfrac{1}{m}+n,\quad D\to 2m+n$$

Решим неравенство А. Числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и положителен при $x\ne2$. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным: $x-1<0$. Точка $x=1$ исключается, поэтому решение — $x<1$.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-1}<0\Rightarrow x<1$$

Решим неравенство Б. Представим $0{,}5$ как $2^{-1}$. Так как основание $2>1$, сравниваем показатели: $-x<-1$, откуда $x>1$.$$2^{-x}<0{,}5=2^{-1}\Rightarrow -x<-1\Rightarrow x>1$$

Для неравенства А область допустимых значений: $x-3>0$, то есть $x>3$. Так как основание логарифма $3>1$, получаем $x-3<3$, откуда $x<6$. Следовательно, $3<x<6$.$$\log_3(x-3)<1 \Longleftrightarrow 0<x-3<3 \Longleftrightarrow 3<x<6$$

В неравенстве Б представим $0{,}2$ как $5^{-1}$. Поскольку основание $5>1$, сравниваем показатели: $-x+2>-1$. Отсюда $x<3$.$$5^{-x+2}>5^{-1} \Longleftrightarrow -x+2>-1 \Longleftrightarrow x<3$$

Решим неравенство А. Так как основание логарифма $4>1$, функция возрастает: $\log_{4}x>0$ при $x>1$.$$\log_{4}x>0\Longleftrightarrow x>1$$

Решим неравенство Б. Представим $16$ как степень числа $4$ и сравним показатели.$$4^{-x+7}>4^2\Longleftrightarrow -x+7>2\Longleftrightarrow x<5$$

Для неравенства А критические точки: $x=2$ и $x=6$. Дробь положительна вне промежутка между ними:$$\dfrac{x-2}{x-6}>0 \Longrightarrow x<2\ \text{или}\ x>6$$

В неравенстве Б множитель $(x-2)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=2$. Произведение отрицательно при $x<6$, но точки $x=2$ и $x=6$ исключаются:$$(x-2)^2(x-6)<0 \Longrightarrow x<2\ \text{или}\ 2<x<6$$

Найдём приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{0{,}17}\approx0{,}41$$

Вычислим значение первого выражения:$$-\dfrac{1}{m}\approx-\dfrac{1}{0{,}41}\approx-2{,}43$$

Разложим левую часть неравенства А на множители:$$x^2+11x-12=(x+12)(x-1)$$

Старший коэффициент положительный, а знак «не больше нуля» означает промежуток между корнями:$$x\in[-12;1]$$

Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 6x - 40 = (x - 10)(x + 4)$$

Произведение не положительно между корнями, поэтому решение А — $-4 \le x \le 10$. Это вариант 2.$$(x - 10)(x + 4) \le 0 \Rightarrow -4 \le x \le 10$$

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители и используем метод интервалов.

Для неравенства А: корни $-10$ и $3$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства с обозначением $\le 0$ находится между корнями.