Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

По числовой прямой оба числа находятся между $1$ и $2$, причём $m<n$.$$1<m<n<2$$

Произведение двух чисел, больших $1$ и меньших $2$, попадает в отрезок $[1;2]$.$$1<mn<2$$

Неравенство А: разложим квадратный трёхчлен на множители. При положительном коэффициенте перед $x^2$ выражение неотрицательно вне промежутка между корнями.$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x \le 2 \text{ или } x \ge 4$$

Полученное решение соответствует пункту 4.

Так как основание логарифма $3>1$, знак неравенства при переходе к показательной форме сохраняется.

Для неравенства А получаем:

Решим неравенство А. Числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и равен нулю только при $x=2$. Дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен: $x-1<0$. Точка $x=1$ исключается из области определения.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-1}<0 \Longrightarrow x<1$$

Решим неравенство Б. Представим правую часть как степень двойки и сравним показатели.$$2^{-x}<\dfrac12=2^{-1} \Longrightarrow -x<-1 \Longrightarrow x>1$$

Так как основание логарифма $7>1$, функция $\log_7 x$ возрастает, поэтому неравенства можно преобразовывать без изменения знака.

Для неравенства А: $\log_7 x>\log_7 7$, следовательно, $x>7$.

По положению чисел $m$ и $n$ на числовой прямой оцениваем значение каждого выражения и сопоставляем его с указанными отрезками.

Выражение $m+n$ принадлежит отрезку $[1;2]$, поэтому для позиции А подходит номер 3.$$m+n\in[1;2]$$

По положению числа $m$ на координатной прямой вычисляем значения выражений и сопоставляем их с координатами точек.$$m-2<\sqrt{m}-1<m^2<\dfrac{4}{m}$$

Самое левое значение соответствует точке $A$: это выражение $m-2$.$$A\rightarrow 3$$

По числовой прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=-1{,}5$$

Вычислим значение первого выражения:$$3-m=3-(-1{,}5)=4{,}5\in[4;5]$$

Оценим первое число: $\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx2{,}65+1{,}73=4{,}38$. Оно принадлежит отрезку $[4;5]$.$$\sqrt{7}+\sqrt{3}\approx4{,}38\in[4;5]$$

Преобразуем второе число: $\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17$. Оно принадлежит отрезку $[9;10]$.$$\sqrt{7}\cdot2\sqrt{3}=2\sqrt{21}\approx9{,}17\in[9;10]$$

Вычислим приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{0{,}15}\approx0{,}387$$

Найдём значения выражений из правого столбца:$$-\frac{1}{m}\approx-2{,}58,\quad m^2=0{,}15,\quad 4m\approx1{,}55,\quad m-1\approx-0{,}61$$

Решим первое неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, функция возрастает:$$\log_2 x>0=\log_2 1\Rightarrow x>1$$

Во втором неравенстве представим правую часть как степень двойки и сравним показатели:$$2^{-x}>2^1\Rightarrow -x>1\Rightarrow x<-1$$

Решим неравенство А. Так как основание логарифма $3>1$, функция возрастает: $\log_3(x-3)<1$ равносильно $0<x-3<3$. Поэтому $3<x<6$.$$А: \quad x\in(3;6)$$

Решим неравенство Б. Представим $0{,}2$ как $5^{-1}$. Поскольку основание $5>1$, получаем $-x+2<-1$, откуда $x>3$? Исправим: $5^{-x+2}>5^{-1}$ равносильно $-x+2>-1$, поэтому $x<3$.$$Б: \quad -x+2>-1 \quad\Longrightarrow\quad x<3$$

Основание логарифма находится между 0 и 1, поэтому функция $y=\log_{\frac{1}{3}}x$ убывает. Область допустимых значений: $x>0$.$$0<\frac{1}{3}<1$$

Для неравенства А получаем $x\le\left(\frac{1}{3}\right)^1$, с учётом области определения: $x\in\left(0;\frac{1}{3}\right]$. Это решение 4.$$\log_{\frac{1}{3}}x\ge1\Longleftrightarrow 0<x\le\frac{1}{3}$$

Для неравенства А отмечаем корни $x=3$ и $x=6$. Произведение отрицательно между корнями.

В неравенстве Б квадрат $(x-6)^2$ положителен при $x\ne6$, а знаменатель $x-3$ должен быть положительным. Точки $x=3$ и $x=6$ исключаются.

Решим неравенство А. Область определения: $x-1>0$, то есть $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, знак неравенства сохраняется:$$\log_2(x-1)<1\Longleftrightarrow x-1<2\Longleftrightarrow x<3$$

С учётом области определения получаем решение неравенства А:$$x\in(1;3)$$

В неравенстве А представим $0{,}5^x$ как $2^{-x}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x\ge 1$, то есть $x\le -1$. Это решение 1.$$0{,}5^x\ge2\iff2^{-x}\ge2^1\iff -x\ge1\iff x\le-1$$

В неравенстве Б функция $2^x$ возрастает, поэтому $2^x\ge2^0$ равносильно $x\ge0$. Это решение 4.$$2^x\ge1=2^0\iff x\ge0$$

Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:$$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неотрицательно вне корней:$$x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$$

Оценим первое число: так как $2^5=32<35<64=2^6$, то $\log_{2}35$ немного больше $5$.

Вычислим второе число: $\dfrac{7}{4}=1{,}75$.

По расположению чисел $m$ и $n$ на числовой прямой оцениваем значение произведения $mn$.$$mn\in[2;3]$$

Складываем числа $m$ и $n$ и определяем соответствующий отрезок.$$m+n\in[3;4]$$

Для неравенства А $(x-1)^2(x-5)<0$ множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<1$ и при $1<x<5.

Для неравенства Б произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $1$ и $5$.