Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А критические точки — $1$ и $2$. Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $1$ и $2$ не входят в решение.
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
А) Критические точки: $x=2$ и $x=6$. Дробь положительна на внешних промежутках, поэтому решение — $(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$.$$\dfrac{x-2}{x-6}>0\ \Longrightarrow\ x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$
- 2
Б) Множитель $(x-2)^2$ неотрицателен и не меняет знак при переходе через $x=2$. Произведение отрицательно при $x<2$ и при $2<x<6$; точки $2$ и $6$ не входят.$$(x-2)^2(x-6)<0\ \Longrightarrow\ x\in(-\infty;2)\cup(2;6)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя логарифмическими неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $5>1$, функция $\log_5 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументу.$$x>5^a \text{ при } \log_5 x>a;\quad x<5^a \text{ при } \log_5 x<a$$
- 2
Для неравенства А вычисляем $5^1=5$.$$\log_5 x>1\Longleftrightarrow x>5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По координатной прямой определяем значение отмеченного числа:$$m=\dfrac{4}{3}$$
- 2
Вычисляем первое выражение:$$-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{4/3}=-\dfrac{3}{4}\in[-1;0]$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из данных чисел. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По положению числа $m$ на координатной прямой определяем, что $m=\sqrt{2}$, поэтому $m^2=2$.$$m^2=2$$
- 2
Вычисляем значение выражения $m-1$: оно положительно и меньше $1$, поэтому соответствует точке $B$.$$m-1=\sqrt{2}-1\approx 0{,}41$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим левую часть первого неравенства на множители:$$x^2 - 10x - 24 = (x + 2)(x - 12)$$
- 2
Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение неотрицательно вне корней и неположительно между ними. Для неравенства А получаем:$$x \in [-2; 12]$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Так как $4^0=1$, $4^{-1}=0{,}25$, а $0{,}25<0{,}6<1$, получаем:
- 2
Оцениваем дробь:
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А учитываем, что $(x-2)^2\geqslant0$. Произведение отрицательно при $x<4$, кроме точки $x=2$, где выражение равно нулю.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;4)$$
- 2
В неравенстве Б числитель положителен при $x\neq4$, а знаменатель положителен при $x>2$. Точка $x=4$ исключается, так как числитель обращается в ноль.$$x\in(2;4)\cup(4;+\infty)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим правую часть в виде степени с тем же основанием: $3=3^1$.$$3^x \ge 3^1 \Longrightarrow x\ge1$$
- 2
Для неравенства Б преобразуем основание: $\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}$. Показательная функция с основанием $3>1$ возрастает.$$3^{-x}\ge3^1 \Longrightarrow -x\ge1 \Longrightarrow x\le-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область допустимых значений: $x>1$. Так как основание логарифма больше единицы, получаем $x-1<2$, то есть $1<x<3$.$$\log_2(x-1)<1\Longleftrightarrow 0<x-1<2\Longleftrightarrow 1<x<3$$
- 2
Решим неравенство Б. Представим $\dfrac{1}{9}$ как степень числа $3$ и сравним показатели.$$3^{-2x}>3^{-2}\Longleftrightarrow -2x>-2\Longleftrightarrow x<1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
Вычислим приближённое значение первого выражения.$$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx2{,}24+1{,}41=3{,}65$$
- 2
Вычислим приближённое значение второго выражения.$$3\sqrt{5}:\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\approx\frac{3\cdot2{,}24}{1{,}41}\approx4{,}74$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, знак неравенства при переходе к показательной форме сохраняется.$$\log_2 x < a \Leftrightarrow 0 < x < 2^a,\quad \log_2 x > a \Leftrightarrow x > 2^a$$
- 2
Для неравенства А получаем:$$\log_2 x < -2 \Leftrightarrow 0 < x < 2^{-2}=\frac{1}{4}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $\log_2 5$. Каждой из четырёх точек соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между…
- 1
Находим приближённое значение логарифма:$$m=\log_2 5\approx2{,}32$$
- 2
Вычисляем значение первого выражения:$$m-2\approx2{,}32-2=0{,}32$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями $3$ и $4$.
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $3$ и $4$ не входят в решение.
Ещё 2 шага — в полном решении
На координатной прямой отмечено число $m$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По координатной прямой видно, что $m$ находится между $-1$ и $0$, причём его значение близко к $-0{,}75$.
- 2
Тогда $6-m$ находится примерно между $6$ и $7$, поэтому $\sqrt{6-m}$ принадлежит отрезку $[2;3]$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между четырьмя числами и отрезками, которым они принадлежат.
- 1
Оценим логарифм: $2^5=32<35<64=2^6$, поэтому $5<\log_2 35<6$.$$А \to 4$$
- 2
Вычислим дробь: $\dfrac{7}{4}=1{,}75$, следовательно, число принадлежит отрезку $[1;2]$.$$Б \to 1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает. Для неравенства А:$$\log_2 x>1\Longleftrightarrow x>2^1=2$$
- 2
Для неравенства Б:$$\log_2 x<-1\Longleftrightarrow 0<x<2^{-1}=\dfrac{1}{2}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А критические точки — $x=2$ и $x=5$. Дробь отрицательна при $x<5$, но точка $x=2$ исключается, так как числитель обращается в ноль.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-5}<0\quad\Longrightarrow\quad x<5,\ x\ne2$$
- 2
Преобразуем правую часть неравенства Б: $\dfrac14=2^{-2}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x<-2$, то есть $x>2$.$$2^{-x}<2^{-2}\quad\Longrightarrow\quad -x<-2\quad\Longrightarrow\quad x>2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого…
- 1
По числовой прямой определяем приблизительные значения отмеченных точек: $m\approx -1{,}3$, $n\approx 2{,}4$.
- 2
Вычислим произведение: оно примерно равно $-3{,}1$, поэтому принадлежит отрезку $[-4;-3]$.$$mn\approx (-1{,}3)\cdot 2{,}4\approx -3{,}1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…
- 1
За 8 прыжков кузнечик может сместиться от начала координат максимум на 8 единиц, поэтому возможные координаты лежат от $-8$ до $8$.
- 2
Так как число прыжков чётное, координата после каждого маршрута будет чётной. Все чётные координаты от $-8$ до $8$ достижимы.
Ещё 1 шаг — в полном решении