Тапсырма 20 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Стоимость бутылки с квасом

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $q$ — стоимость 1 литра кваса.
2. 2
   По условию составим систему уравнений:$$b + q = 38,\quad b + 2q = 70$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Скорость лодки против течения

Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…

1. 1
   Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $v$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$, а по течению — $v+1$.$$v-1>0$$
2. 2
   Время движения против течения больше времени движения по течению на 2 часа.$$\frac{99}{v-1}-\frac{99}{v+1}=2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Викторина с отрицательными баллами

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   По условию о набранных очках составляем уравнение:$$7x - 12y = 70$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Рейс теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 29 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в…

1. 1
   Найдём скорости теплохода по течению и против течения:$$v_{\text{по течению}}=29+1=30,\quad v_{\text{против течения}}=29-1=28$$
2. 2
   Пусть расстояние от исходного пункта до места стоянки равно $x$ км. Общее время состоит из времени движения по течению, стоянки и времени движения против течения:$$\dfrac{x}{30}+2+\dfrac{x}{28}=31$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Прибыль частных акционеров

Государству принадлежит 60 % акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 20 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли…

1. 1
   Найдём долю акций, принадлежащую частным лицам:$$100\% - 60\% = 40\%$$
2. 2
   Вычислим сумму прибыли, которая должна пойти частным акционерам:$$20 \cdot 0{,}4 = 8$$

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 35-процентного раствора вещества с 11 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе:$$m_1 = 4 \cdot 0{,}35 = 1{,}4\ \text{кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе:$$m_2 = 11 \cdot 0{,}05 = 0{,}55\ \text{кг}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 11 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько…

1. 1
   Если после распиливания получается $n$ кусков, то распилов было на один меньше: $n-1$.
2. 2
   Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$(11-1)+(6-1)+(7-1)=10+5+6=21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость на трассе

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 150 км/ч, а последнюю — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть длина всей трассы равна $S$. Каждый из трёх участков имеет длину $\frac{S}{3}$.
2. 2
   Общее время движения равно сумме времён на трёх участках:$$t = \frac{S/3}{30} + \frac{S/3}{150} + \frac{S/3}{100}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 16 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим число верных ответов через $x$, а число ошибок — через $y$. Так как участник ошибся хотя бы один раз, $y \geq 1$.$$9x - 16y = 171$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = \frac{171 + 16y}{9} = 19 + \frac{16y}{9}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первый час автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем два часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём расстояние, пройденное автомобилем на каждом участке.$$S_1 = 80 \cdot 1 = 80\ \text{км},\quad S_2 = 75 \cdot 2 = 150\ \text{км},\quad S_3 = 50 \cdot 2 = 100\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём общий путь и общее время движения.$$S_{\text{общ}} = 80 + 150 + 100 = 330\ \text{км},\quad t_{\text{общ}} = 1 + 2 + 2 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 30 минут, второй — за 1 час 35 минут, а третий — за 1 час 54 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы второго и третьего насосов в минут.$$1\text{ ч }35\text{ мин}=95\text{ мин},\quad 1\text{ ч }54\text{ мин}=114\text{ мин}$$
2. 2
   Найдём общую производительность насосов.$$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{95}+\dfrac{1}{114}=\dfrac{19}{570}+\dfrac{6}{570}+\dfrac{5}{570}=\dfrac{30}{570}=\dfrac{1}{19}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n - 1$ распилов. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше числа получаемых кусков.
2. 2
   Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$9 - 1 = 8,\quad 12 - 1 = 11,\quad 8 - 1 = 7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встреча на прогулке

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,3 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, а второй — со скоростью 2,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Время движения первого человека равно $\dfrac{x}{2{,}5}$ часа.
2. 2
   Второй человек проходит до опушки $5{,}3$ км и возвращается на расстояние $5{,}3-x$ км. Его общий путь до встречи равен $10{,}6-x$ км, поэтому время движения равно $\dfrac{10{,}6-x}{2{,}8}$ часа.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй — за 54 минуты, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минут: $1$ час $48$ минут $= 108$ минут.
2. 2
   Найдём производительность каждого насоса в долях бака за минуту:$$v_1=\frac{1}{12},\quad v_2=\frac{1}{54},\quad v_3=\frac{1}{108}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Рейс теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 22 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в…

1. 1
   Найдём время движения теплохода без учёта стоянки:$$28 - 6 = 22\text{ ч}$$
2. 2
   Скорость теплохода по течению равна $24$ км/ч, против течения — $20$ км/ч.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Сплавы с разным содержанием никеля

Имеется два сплава. Первый содержит 10 % никеля, второй — 45 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % никеля. Масса первого сплава равна 60 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составляем уравнение по количеству никеля в сплавах.$$0{,}1 \cdot 60 + 0{,}45x = 0{,}35(60+x)$$
2. 2
   Раскрываем скобки и решаем уравнение.$$6+0{,}45x=21+0{,}35x,\quad 0{,}1x=15,\quad x=150$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 15 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из них 5 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Поскольку весь путь занял 10 часов, а спуск — 5 часов, на подъём турист затратил тоже 5 часов.$$t_{\text{подъём}} = 10 - 5 = 5$$
2. 2
   Пусть скорость на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 1$ км/ч.$$v_{\text{спуск}} = x,\quad v_{\text{подъём}} = x - 1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 24 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 4 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x+4$ км/ч.
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 24 км, поэтому составим уравнение:$$2x+2(x+4)=24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость пешехода

Пешеход и велосипедист одновременно отправились из посёлков, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу. Они встретились через 2 часа. Скорость велосипедиста на 7 км/ч больше скорости…

1. 1
   Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Тогда скорость велосипедиста равна $x + 7$ км/ч.$$v_\text{в} = x + 7$$
2. 2
   За 2 часа пешеход и велосипедист вместе преодолели расстояние 30 км.$$2\bigl(x + (x + 7)\bigr) = 30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Встреча велосипедистов

Расстояние между городами А и В равно 6 км. Из города А в город В выехал первый велосипедист со скоростью 12 км/ч, а через несколько минут после этого из города В в город А навстречу первому…

1. 1
   При встрече велосипедисты проехали равные расстояния, поэтому каждый проехал половину расстояния между городами:$$s = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{км}$$
2. 2
   Время движения первого велосипедиста до встречи равно:$$t_1 = \dfrac{3}{12}\ \text{ч} = 15\ \text{мин}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде