Задание 20 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 18 минут, второй — за 24 минуты, а третий — за 36 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Производительности насосов равны долям бака, которые они наполняют за одну минуту.$$\dfrac{1}{18},\quad \dfrac{1}{24},\quad \dfrac{1}{36}$$
2. 2
   При одновременной работе производительности складываются.$$\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{4+3+2}{72} = \dfrac{9}{72} = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 420 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 255 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Место встречи находится на расстоянии 255 км от города B, поэтому автомобиль из города A проехал:$$420 - 255 = 165\text{ км}$$
2. 2
   Автомобили ехали 3 часа, значит скорость автомобиля из города A равна:$$v = \dfrac{165}{3} = 55\text{ км/ч}$$

Совместная работа Даши и Маши

Даша и Маша, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Маша — за 33 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

1. 1
   Пусть Даша одна пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту.$$\dfrac{1}{x}$$
2. 2
   Производительность Даши и Маши вместе равна $\dfrac{1}{24}$, а производительность Маши — $\dfrac{1}{33}$.$$\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{33}+\dfrac{1}{x}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость бутылки с квасом

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость 1 литра кваса.
2. 2
   По условию составим систему уравнений:$$\begin{cases} b+x=45, \\ b+2x=81. \end{cases}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Тетради для трёх учеников

На столе лежали тетради для трёх учеников. Сначала пришёл первый, забрал треть всех тетрадей и ушёл. Следом пришёл второй и, не зная о том, что часть тетрадей уже забрали, взял треть лежавших на…

1. 1
   После каждого ученика на столе оставалось две трети имевшихся тетрадей.$$\dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Пусть первоначально на столе было $x$ тетрадей. После ухода трёх учеников осталось:$$x\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сплавы с разным содержанием никеля

Имеется два сплава. Первый содержит 20 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 10 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Количество никеля в первом и втором сплавах составляет соответственно $0{,}2 \cdot 10$ и $0{,}5x$ кг.
2. 2
   В полученном сплаве массой $10+x$ кг содержится $45\%$ никеля, поэтому составим уравнение:$$0{,}2 \cdot 10 + 0{,}5x = 0{,}45(10+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 35 минут, второй — за 1 час 24 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы второго и третьего насосов в минуты: $1$ час $24$ минуты $= 84$ минуты, $1$ час $45$ минут $= 105$ минут.
2. 2
   Производительность насосов равна соответственно $\dfrac{1}{35}$, $\dfrac{1}{84}$ и $\dfrac{1}{105}$ бака в минуту.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 13 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 325 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$ км. Тогда весь путь путешественника составляет $2S$ км.$$s_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{13},\quad t_2 = \dfrac{S}{325}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Улитка на дереве

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За какое наименьшее количество дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   После каждого полного дня и последующей ночи улитка продвигается на $4-2=2$ м. Перед последним подъёмом ночное сползание учитывать нужно только после предыдущих дней.$$4n-2(n-1)\ge14$$
2. 2
   Решим неравенство для количества дней:$$4n-2n+2\ge14,\quad 2n\ge12,\quad n\ge6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость лодки по течению

Моторная лодка прошла против течения реки 224 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1…

1. 1
   Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$ км/ч, а по течению — $v+1$ км/ч.
2. 2
   Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению:$$\dfrac{224}{v-1}-\dfrac{224}{v+1}=2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число мальчиков в классе

В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?

1. 1
   Пусть $x$ — число мальчиков, а $y$ — число девочек. По условию всего в классе 27 учеников.$$x+y=27$$
2. 2
   Посчитаем количество пар дружбы между мальчиками и девочками двумя способами. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками.$$4x=5y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы и концентрация меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 10 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 150 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $150+x$ кг.$$m_3 = 150+x$$
2. 2
   Составим уравнение по массе меди: масса меди в двух исходных сплавах равна массе меди в полученном сплаве.$$0{,}45 \cdot 150 + 0{,}1x = 0{,}4(150+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 20-процентного раствора вещества с 6 кг 35-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе:$$4 \cdot 0{,}20 = 0{,}8\text{ кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе:$$6 \cdot 0{,}35 = 2{,}1\text{ кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встречное движение автомобилей

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 240 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 130 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Найдём расстояние от города A до места встречи:$$s_A = 240 - 130 = 110\ \text{км}$$
2. 2
   Автомобиль проехал это расстояние за 2 часа, поэтому его скорость равна:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{110}{2} = 55\ \text{км/ч}$$

Рейс теплохода по реке

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в…

1. 1
   Найдём скорости теплохода относительно берега.$$v_{\text{по течению}}=24+4=28\text{ км/ч},\quad v_{\text{против течения}}=24-4=20\text{ км/ч}$$
2. 2
   Пусть расстояние от исходного пункта до места стоянки равно $x$ км. Время движения по течению равно $\dfrac{x}{28}$, а время движения против течения — $\dfrac{x}{20}$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Викторина с штрафными очками

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию набрано 75 очков:$$5x - 11y = 75$$
2. 2
   Преобразуем уравнение: $5x = 75 + 11y$. Левая часть и число 75 делятся на 5, значит, $11y$ и поэтому $y$ делится на 5.

Ещё 3 шага — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 700 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B со скоростью 85 км/ч выехал второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние $700 - 360 = 340$ км.$$s_2 = 700 - 360 = 340$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля составило:$$t_2 = \dfrac{340}{85} = 4\text{ ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число правильных ответов, а через $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geq 1$, а всего отвеченных вопросов не больше 25.$$x+y\leq 25$$
2. 2
   Составим уравнение по количеству набранных очков.$$7x-10y=42$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующий час — со скоростью 65 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём путь, пройденный автомобилем на каждом участке, и сложим эти расстояния.$$S = 3 \cdot 70 + 1 \cdot 65 + 1 \cdot 45 = 320\ \text{км}$$
2. 2
   Общее время движения составляет $3 + 1 + 1 = 5$ часов.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча велосипедистов

Расстояние между городами А и В равно 5,6 км. Из города А в город В выехал первый велосипедист со скоростью 12 км/ч, а через несколько минут после этого из города В в город А навстречу первому…

1. 1
   При встрече велосипедисты проехали равные расстояния, поэтому каждый проехал половину расстояния между городами.$$s = \dfrac{5{,}6}{2} = 2{,}8\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения первого велосипедиста.$$t_1 = \dfrac{2{,}8}{12}\ \text{ч} = 14\ \text{мин}$$

Ещё 2 шага — в полном решении