Задание 20 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Неверные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 60 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Ученик…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неверных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=60$$
2. 2
   По условию о набранных очках составим уравнение:$$9x-17y=153$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 10 минут, второй — за 14 минут, а третий — за 35 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Производительности насосов равны соответственно $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{14}$ и $\dfrac{1}{35}$ бака в минуту.$$\frac{1}{10},\ \frac{1}{14},\ \frac{1}{35}$$
2. 2
   При одновременной работе производительности складываются:$$\frac{1}{10}+\frac{1}{14}+\frac{1}{35}=\frac{7+5+2}{70}=\frac{14}{70}=\frac{1}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 9 кг 10-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}1 = 0{,}9\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса раствора станет равна:$$M = 9 + 6 = 15\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Время движения туда и обратно составляет $\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}$, а весь путь равен $2s$.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}}$$
2. 2
   Сократим на $s$ и вычислим среднюю скорость.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 18 \cdot 306}{18+306} = \dfrac{11016}{324} = 34$$

Сплавы и содержание никеля

Имеется два сплава. Первый содержит 35 % никеля, второй — 50 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля:$$0{,}35 \cdot 35 + 0{,}5x = 0{,}45(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и перенесём слагаемые:$$12{,}25 + 0{,}5x = 15{,}75 + 0{,}45x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 12 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…

1. 1
   Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея равна:$$v_С=\dfrac{1}{12}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{8},\quad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{48}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 13 вопросов теста, а Ваня — на 15. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 40 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{13}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{15}$ часа.$$\frac{x}{13},\quad \frac{x}{15}$$
2. 2
   Петя потратил на выполнение на $40$ минут, то есть на $\dfrac{2}{3}$ часа больше Вани.$$\frac{x}{13}-\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 280 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Место встречи находится в 280 км от города B, поэтому расстояние от города A до места встречи равно:$$480 - 280 = 200\ \text{км}$$
2. 2
   Автомобиль из города A проехал 200 км за 4 часа. Найдём его скорость:$$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{200}{4} = 50\ \text{км/ч}$$

Средняя скорость автомобиля

Первые 150 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 100 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 150 + 200 + 100 = 450\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{150}{60} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{100}{100} = 1\ \text{ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 14-процентного раствора вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому концентраций исходных растворов.$$c = \dfrac{14 + 18}{2}$$
2. 2
   Вычислим концентрацию смеси:$$c = \dfrac{32}{2} = 16\%$$

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 8 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 30…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 8 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$8 - 4 = 4$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 20.$$50 - 30 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 9 кг 16-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}16 = 1{,}44\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменяется, а масса раствора становится равной:$$M = 9 + 3 = 12\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 49 км. Путь из А в В занял у туриста 14 часов, из которых 7 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 3$ км/ч.
2. 2
   На подъём турист затратил $14 - 7 = 7$ часов. Поэтому длина спуска равна $7x$ км, а длина подъёма — $7(x - 3)$ км.$$7x + 7(x - 3) = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении