Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость…
- 1
Расстояние от города A до места встречи равно разности общего расстояния и расстояния от города B до места встречи.$$s_A = 320 - 170 = 150\ \text{км}$$
- 2
Автомобиль проехал это расстояние за 2 часа, поэтому его скорость равна отношению расстояния ко времени.$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{150}{2} = 75\ \text{км/ч}$$
В сосуд, содержащий 11 кг 28-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m_{\text{вещества}} = 11 \cdot 0{,}28 = 3{,}08\ \text{кг}$$
- 2
После добавления воды масса раствора увеличилась, а масса вещества осталась прежней:$$m_{\text{раствора}} = 11 + 3 = 14\ \text{кг}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Смешали некоторое количество 19-процентного раствора вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Растворы взяли в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому концентраций исходных растворов.$$c = \dfrac{19 + 17}{2}$$
- 2
Вычислим концентрацию смеси.$$c = \dfrac{36}{2} = 18\%$$
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 5 минут…
- 1
Пусть в тесте $x$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{20}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{21}$ часа.
- 2
Петя затратил на выполнение на 5 минут больше. Переведём 5 минут в часы: $5$ минут $= \dfrac{1}{12}$ часа.$$\frac{x}{20} - \frac{x}{21} = \frac{1}{12}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Смешали 7 кг 25-процентного раствора вещества с 8 кг 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- 1
Найдём массу вещества в первом растворе:$$7 \cdot 0{,}25 = 1{,}75\ \text{кг}$$
- 2
Найдём массу вещества во втором растворе:$$8 \cdot 0{,}10 = 0{,}8\ \text{кг}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Список заданий викторины состоял из 65 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=65$$
- 2
По условию о набранных очках получаем уравнение:$$9x-17y=153$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Имеется два сплава. Первый содержит 50 % никеля, второй — 15 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25 % никеля. Масса первого сплава равна 50 кг. На сколько килограммов…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Масса никеля в исходных сплавах должна быть равна массе никеля в полученном сплаве.$$0{,}5 \cdot 50 + 0{,}15x = 0{,}25(50+x)$$
- 2
Решим уравнение.$$25+0{,}15x=12{,}5+0{,}25x$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 8 кусков, а если по зелёным — 14 кусков. Сколько…
- 1
Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n-1$ распилов.$$7-1=6,\quad 8-1=7,\quad 14-1=13$$
- 2
На палке всего отмечено 26 линий, поэтому при распиле по всем линиям число кусков на один больше числа распилов.$$6+7+13+1=27$$
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 21 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 273 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…
- 1
Пусть расстояние между пунктами равно $S$. Тогда время движения на яхте составляет $\dfrac{S}{21}$, а время полёта — $\dfrac{S}{273}$.$$t = \dfrac{S}{21} + \dfrac{S}{273}$$
- 2
Общее расстояние равно $2S$, поэтому средняя скорость равна:$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{\frac{S}{21}+\frac{S}{273}}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…
- 1
Если по одной группе линий получается $n$ кусков, то количество распилов равно $n-1$.$$9-1=8,\quad 7-1=6,\quad 6-1=5$$
- 2
Всего поперечных линий трёх цветов:$$8+6+5=19$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося…
- 1
Пусть каждого раствора взяли по $x$ единиц объёма. Тогда количество вещества в первом растворе равно $0{,}13x$, а во втором — $0{,}19x$.$$m = 0{,}13x + 0{,}19x = 0{,}32x$$
- 2
Общий объём смеси равен $2x$, поэтому её концентрация составляет:$$\frac{0{,}32x}{2x} = 0{,}16$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Первые 100 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 70 км/ч, а затем 110 км — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём весь путь автомобиля.$$S = 100 + 180 + 110 = 390\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке и сложим его.$$t = \dfrac{100}{50} + \dfrac{180}{70} + \dfrac{110}{110} = 2 + \dfrac{18}{7} + 1 = \dfrac{39}{7}\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Имеется два сплава. Первый содержит 45% никеля, второй — 5% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 15% никеля. Масса первого сплава равна 40 кг. На сколько килограммов масса…
- 1
Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса полученного сплава равна $40+x$ кг.$$x \text{ кг}$$
- 2
Составим уравнение по массе никеля в сплавах.$$0{,}45 \cdot 40 + 0{,}05x = 0{,}15(40+x)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Список заданий викторины состоял из 75 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…
- 1
Пусть $x$ — число неверных ответов. Ответов без ошибки не было на 6 вопросов, поэтому число правильных ответов равно $75-6-x=69-x$.$$n_{\text{правильных}}=69-x$$
- 2
Составим уравнение для общего количества очков: за правильные ответы начислено $9(69-x)$ очков, за неверные списано $17x$ очков.$$9(69-x)-17x=153$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 140 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём время движения на каждом участке пути:$$t_1 = \dfrac{120}{60} = 2,\quad t_2 = \dfrac{140}{80} = 1{,}75,\quad t_3 = \dfrac{150}{120} = 1{,}25$$
- 2
Общее время движения составляет:$$t = 2 + 1{,}75 + 1{,}25 = 5\text{ ч}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 200 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 160 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём общий путь автомобиля:$$S = 120 + 200 + 160 = 480\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$t = \dfrac{120}{60} + \dfrac{200}{100} + \dfrac{160}{120} = 2 + 2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Первый насос наполняет бак за 45 минут, второй — за 55 минут, а третий — за 1 час 6 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
- 1
Переведём время работы третьего насоса в минут: 1 час 6 минут = 66 минут.
- 2
Производительности насосов равны $\dfrac{1}{45}$, $\dfrac{1}{55}$ и $\dfrac{1}{66}$ бака в минуту.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 110 км — со скоростью 110 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…
- 1
Найдём общий путь автомобиля:$$S = 140 + 110 + 150 = 400\ \text{км}$$
- 2
Найдём время движения на каждом участке и общее время:$$t = \dfrac{140}{80} + \dfrac{110}{110} + \dfrac{150}{120} = 1{,}75 + 1 + 1{,}25 = 4\ \text{ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен…
- 1
Рассчитаем стоимость 600 Мб по плану «0»:$$0{,}6 \cdot 600 = 360$$
- 2
По плану «400» первые 400 Мб кіреді в абонентскую плату, а ещё 200 Мб оплачиваются дополнительно:$$336 + 0{,}4 \cdot (600 - 400) = 336 + 80 = 416$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 350 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость…
- 1
Расстояние от города A до места встречи равно разности общего расстояния и расстояния от города B:$$s_A = 350 - 180 = 170\text{ км}$$
- 2
Автомобиль ехал 2 часа, поэтому его скорость равна:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{170}{2} = 85\text{ км/ч}$$