Тапсырма 20 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 30 км. Путь из А в В занял у туриста 11 часов, из них 8 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x-1$ км/ч.
2. 2
   Длина спуска равна $8x$ км, поскольку на него затрачено 8 часов. На подъём затрачено $11-8=3$ часа, поэтому его длина равна $3(x-1)$ км.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 510 км. Из города A в город B со скоростью 70 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B со скоростью 80 км/ч выехал…

1. 1
   За три часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$70 \cdot 3 = 210\text{ км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями осталось:$$510 - 210 = 300\text{ км}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 12 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 276 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Обозначим расстояние между пунктами через $s$ км. Тогда время плавания на яхте равно $\dfrac{s}{12}$ ч, а время полёта на самолёте — $\dfrac{s}{276}$ ч.$$t = \dfrac{s}{12} + \dfrac{s}{276}$$
2. 2
   Общее расстояние равно $2s$ км. Средняя скорость — это отношение общего расстояния ко всему времени.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{12} + \frac{s}{276}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распилы по разноцветным линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 10 кусков, если по жёлтым — 8 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько…

1. 1
   Число распилов по линиям каждого цвета на единицу меньше числа получившихся кусков.$$10-1=9,\quad 8-1=7,\quad 8-1=7$$
2. 2
   Находим общее число распилов по линиям всех трёх цветов.$$9+7+7=23$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встреча двух автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 250 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 85 км/ч…

1. 1
   За два часа до выезда второго автомобиля первый автомобиль проехал:$$55 \cdot 2 = 110\text{ км}$$
2. 2
   После выезда второго автомобиля расстояние между автомобилями составляет:$$250 - 110 = 140\text{ км}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Концентрация смеси растворов

Смешали 3 литра 5-процентного раствора вещества с 4 литрами 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём объём вещества в каждом из растворов:$$V_1 = 3 \cdot 0{,}05 = 0{,}15\text{ л},\quad V_2 = 4 \cdot 0{,}40 = 1{,}6\text{ л}$$
2. 2
   Объём вещества в получившемся растворе равен сумме объёмов вещества в исходных растворах:$$V_{\text{вещества}} = 0{,}15 + 1{,}6 = 1{,}75\text{ л}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 90 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Тогда Петя выполняет тест за $\dfrac{x}{12}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{20}$ часа.$$t_{\text{П}}=\dfrac{x}{12},\quad t_{\text{В}}=\dfrac{x}{20}$$
2. 2
   Петя затратил на выполнение теста на $90$ минут, то есть на $1{,}5$ часа, больше, чем Ваня.$$\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{20}=1{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию ученик набрал 65 очков:$$5x-12y=65$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x=\frac{65+12y}{5}=13+\frac{12y}{5}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 16 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 496 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Тогда общее расстояние составляет $2s$, а общее время движения равно сумме времён пути туда и обратно.$$t = \dfrac{s}{16} + \dfrac{s}{496}$$
2. 2
   Средняя скорость равна отношению общего расстояния ко всему времени движения.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{16} + \frac{s}{496}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 15 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}15 \cdot 60 + 0{,}4x = 0{,}2(60+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 670 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$670 - 400 = 270\ \text{км}$$
2. 2
   Пусть первый автомобиль находился в пути $t$ часов. Второй автомобиль выехал на 2 часа позже, поэтому был в пути $t - 2$ часа.$$90(t - 2) = 270$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Весь путь автомобиля равен:$$S = 110 + 100 + 150 = 360\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t = \dfrac{110}{60} + \dfrac{100}{90} + \dfrac{150}{100} = \dfrac{11}{6} + \dfrac{10}{9} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{40}{9}\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация смеси растворов

Смешали 9 кг 35-процентного раствора вещества с 11 кг 15-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в каждом растворе:$$m_1 = 9 \cdot 0{,}35 = 3{,}15\ \text{кг},\quad m_2 = 11 \cdot 0{,}15 = 1{,}65\ \text{кг}$$
2. 2
   Общая масса вещества равна:$$m = 3{,}15 + 1{,}65 = 4{,}8\ \text{кг}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 20 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 40 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $40+x$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}45 \cdot 40 + 0{,}2x = 0{,}4(40+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 100 км/ч, а последнюю — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Пусть весь путь равен $3s$. Тогда каждая из трёх частей пути имеет длину $s$.$$S=3s$$
2. 2
   Найдём общее время движения как сумму времени на каждой части пути.$$t=\dfrac{s}{60}+\dfrac{s}{100}+\dfrac{s}{30}=s\left(\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{30}\right)=\dfrac{3s}{50}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $p$ — стоимость бір литра кваса. По условию:$$b+p=40,\quad b+2p=70$$
2. 2
   Вычтем первое равенство из второго и найдём стоимость бір литра кваса:$$p=70-40=30$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие два часа — со скоростью 85 км/ч, а затем три часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Вычислим путь на каждом участке движения.$$S_1 = 2 \cdot 120 = 240\ \text{км},\quad S_2 = 2 \cdot 85 = 170\ \text{км},\quad S_3 = 3 \cdot 50 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём весь путь и общее время движения.$$S = 240 + 170 + 150 = 560\ \text{км},\quad t = 2 + 2 + 3 = 7\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 18-процентного раствора вещества с таким же количеством 20-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация получившейся смеси равна среднему арифметическому их концентраций.$$c = \dfrac{c_1 + c_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения концентраций:$$c = \dfrac{18 + 20}{2} = 19\%$$

Средняя скорость автомобиля

Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 110 + 130 + 180 = 420\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$T = \dfrac{110}{50} + \dfrac{130}{100} + \dfrac{180}{120} = 2{,}2 + 1{,}3 + 1{,}5 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 73…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 4, поэтому общее количество фишек уменьшается на 7.$$11 - 4 = 7$$
2. 2
   Если Петя совершил $x$ обменов, то после них осталось 73 фишки.$$150 - 7x = 73$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде