В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 62^\circ$ и $\angle BDC = 42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 62^\circ + 42^\circ = 104^\circ$$
- 2
Так как $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC = 104^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 + 40^2 = 41^2$$
- 2
Вычислим длину второй стороны:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 18 и 24. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Половины диагоналей ромба равны $18 : 2 = 9$ и $24 : 2 = 12$. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба.$$a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $280$, сторона $BC = 20$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$, равную стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{280}{20} = 14$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD = BC = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{20} = 0{,}7$$
На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 2\sqrt{5}$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Диаметр равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$
- 2
Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой, поэтому треугольник $ABC$ прямоугольный.$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$, $AC = 12$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам: $AM = MC = 6$.$$AC = 12 \Rightarrow AM = MC = 6$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту $BM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 34^\circ$. Найдите величину угла $DCB$.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её величина в два раза больше угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot34^\circ=68^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $51$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный. Сторона $BM$ лежит напротив угла $30^\circ$.$$BM = \frac{BC}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 36$, $\tg A = \dfrac{11}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание равнобедренного треугольника пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 18$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ используем тангенс угла $A$ и находим высоту.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{18} = \dfrac{11}{6},\quad h = 33$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 1$, а её площадь равна 84. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$. Их высоты, проведённые к основаниям $BC$ и $AD$, равны высоте трапеции.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=1:6$$
- 2
Площадь трапеции состоит из семи равных долей, из которых треугольнику $ABC$ соответствует одна доля.$$S_{ABC}=84\cdot\frac{1}{1+6}=12$$
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 14$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними, поэтому каждый из них равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle B = 120^\circ$.
- 2
Так как углы $A$ и $C$ равны, стороны $AB$ и $BC$ равны. Значит, $AB = BC = 14$, а биссектриса $BK$ является также медианой и высотой.
Ещё 2 шага — в полном решении
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $ECI$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного десятиугольника равен:$$\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
- 2
Угол $ECI$ — вписанный и опирается на дугу $EI$, не содержащую вершину $C$. Эта дуга включает четыре стороны: $EF$, $FG$, $GH$, $HI$.$$\widehat{EI}=4\cdot36^\circ=144^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 5. Одна из сторон параллелограмма равна 4. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
- 2
Подставим известные значения диагоналей и одной стороны.$$5^2 + 5^2 = 2(4^2 + b^2)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 4, а острый угол ромба равен $30^\circ$.
- 1
Выразим сторону ромба через его высоту и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Подставим известные значения:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $\angle AIH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle AIH$ — внутренний угол правильного девятиугольника.$$n=9$$
- 2
Вычислим величину одного внутреннего угла правильного девятиугольника.$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=\frac{(9-2)\cdot180^\circ}{9}=140^\circ$$
В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 2, а другое — 6. Высота трапеции равна 3. Найдите тангенс острого угла трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по двум сторонам.$$x = \dfrac{6 - 2}{2} = 2$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник у боковой стороны трапеции. Его вертикальный катет равен высоте трапеции, то есть 3, а горизонтальный катет равен 2.$$\tan \alpha = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 16$, $BC = 30$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{1156} = 34$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 5$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 12. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания.$$AC = 2MN = 2 \cdot 12 = 24$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 37^\circ$, $\angle D = 51^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам. Поэтому диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$∠ABD = \dfrac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ,\quad ∠ADB = \dfrac{51^\circ}{2} = 25{,}5^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $ABD$ и найдём его угол $A$ по сумме углов треугольника.$$∠A = 180^\circ - 18{,}5^\circ - 25{,}5^\circ = 136^\circ$$
На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 13$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении