В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 15. Гипотенуза равна 17. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=8$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая сторона — катет длиной $8$.$$l_{\min}=\frac{8}{2}=4$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 21. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.$$BK=21$$
- 2
В образовавшемся прямоугольном треугольнике боковая сторона вдвое больше высоты.$$AB=2BK$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 42$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол, опирающийся на хорду $AC$, равен$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды выражается через радиус окружности:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{7}{18}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол, соответствующий дуге, составляет такую же долю полного угла, как длина дуги — длины окружности.$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{7}{18} = 140^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла.$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 18$, $AC = 160$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{160}{2} = 80$$
- 2
Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный с катетами $AM$ и $BM$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 25$, $\tg A = \dfrac{8}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам. Поэтому расстояние от точки $A$ до основания высоты равно $\dfrac{25}{2}$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{25}{2}$$
- 2
По определению тангенса угла $A$ найдём высоту треугольника.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{25/2} = \dfrac{8}{5},\quad h = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{8}{5} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $121^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$B = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$$
- 2
Стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Поэтому углы при основании равны: $A = B = 59^\circ$.$$A = B = 59^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 9 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 9 \cdot 8 = 72$$
- 2
Высота, проведённая к большей стороне, равна отношению площади к длине этой стороны.$$h = \dfrac{S}{12} = \dfrac{72}{12} = 6$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}3$. Найдите длину отрезка $BH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{20}{0{,}3} = \dfrac{200}{3}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 7$, $BC = 1$, а её площадь равна 96. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$
- 2
Подставим известные значения и найдём высоту:$$96 = \frac{7 + 1}{2}h = 4h,\quad h = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2 \cdot 10 = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 44$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ дополняет внешний угол до $180^\circ$:$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана $BK$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $BCK$ прямоугольный.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 58$. Найдите $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 5^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный угол $\angle DBA$ равен половине дуги $DA$, на которую он опирается.$$\widehat{DA} = 2 \cdot 5^\circ = 10^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $DAB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\widehat{DB} = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, $AC = 20$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 10$$
- 2
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 22^\circ$ и $\angle BDC = 45^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из условия $AB = CD$ следует, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
- 2
Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 22^\circ + 45^\circ = 67^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 35^\circ$ и $\angle BDC = 66^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, внутренние накрест лежащие углы равны:$$\angle DBC = \angle BDA = 35^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник $BCD$ и найдём его угол при вершине $C$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle BDC - \angle DBC = 180^\circ - 66^\circ - 35^\circ = 79^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 42. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине $B$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $AB$ — гипотенуза, а $BK=42$ — катет.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 15, одна из средних линий равна 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 4 = 8$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$
В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 8$ и $BC = 2$, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Выразим высоту трапеции из формулы её площади:$$35=\frac{8+2}{2}h=5h$$
- 2
Высота трапеции равна:$$h=7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении