На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 49^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому он делит этот угол на два равных угла.$$\angle DMB = \angle DMC = 49^\circ$$
- 2
Находим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 49^\circ + 49^\circ = 98^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 30$, площадь ромба равна 315. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади.$$315 = \dfrac{30 \cdot BD}{2}$$
- 2
Отсюда длина второй диагонали равна $21$, поэтому $AO = 15$, $BO = 10{,}5$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.$$BD = \dfrac{2 \cdot 315}{30} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. Она делит основание пополам, поэтому половина основания равна $15$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 15$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту треугольника.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{400} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{9}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{1}{9}$ длины окружности, поэтому её градусная мера равна:$$360^\circ \cdot \dfrac{1}{9}=40^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине её градусной меры:$$\dfrac{40^\circ}{2}=20^\circ$$
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 27$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Обозначим $AH=x$, $HC=y$. Так как $AC=27$, имеем:$$x+y=27$$
- 2
Точка $M$ — середина основания $AC$, поэтому расстояние от $H$ до $M$ равно:$$HM=\frac{|x-y|}{2}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = \sqrt{19}$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
- 2
Найдём катет $AM$ по теореме Пифагора.$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{81} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 125, сторона $AB = 5$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{125}{5} = 25$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, то есть $CD = 5$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 1^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $1^\circ$. Обозначим $|AB|=a$, тогда $|AC|=2a$.$$\angle(\vec u,\vec v)=1^\circ,\quad |\vec u|=2a,\quad |\vec v|=a$$
- 2
Пусть $\vec u=\overrightarrow{AC}$, $\vec v=\overrightarrow{AB}$. Тогда $\overrightarrow{AD}=\vec u-\vec v$, поэтому для второй диагонали получаем $\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$.$$\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 40$, площадь ромба равна 480. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$S=\frac{AC\cdot BD}{2},\quad BD=\frac{2S}{AC}=\frac{2\cdot480}{40}=24$$
- 2
Диагонали ромба делятся пополам, поэтому $AO=20$ и $BO=12$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.$$AO=\frac{AC}{2}=20,\quad BO=\frac{BD}{2}=12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 4\sqrt{39}$, диагональ $BD = 20$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = 2\sqrt{39}$, $BO = 10$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$:$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{(2\sqrt{39})^2 + 10^2} = \sqrt{156 + 100} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 128$ градусов, $\angle D = 158$ градусов. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также равнобедренный. Следовательно, углы $A$ и $C$ четырёхугольника равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360$ градусов.$$\angle A + 128 + \angle C + 158 = 360$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 54$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary с внешними углами:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как углы при основании равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK$ является также высотой и медианой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
- 1
Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — гипотенуза. Найдём её длину по теореме Пифагора.$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
- 2
Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Поэтому наибольшая средняя линия равна половине гипотенузы.$$l = \dfrac{c}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 12$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB = BC$. Биссектриса $BK$ делит угол $B$ пополам:$$\angle ABK = \frac{180^\circ - 30^\circ - 30^\circ}{2} = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120°$, а его периметр равен $76$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
Сумма двух углов равна $120°$. Это могут быть равные противоположные углы, поэтому каждый из них равен $60°$.$$\alpha=\frac{120°}{2}=60°$$
- 2
Найдём длину стороны ромба по его периметру.$$a=\frac{76}{4}=19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
- 1
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
- 2
Диагональ прямоугольника, его сторона длиной 5 и соседняя сторона образуют прямоугольный треугольник.$$b^2 + 5^2 = 13^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 124^\circ$. Найдите величину угла $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CMA$ и $CMB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
- 2
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{\angle CMB}{2} = \dfrac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 16, площадь треугольника равна 48. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Найдём высоту треугольника, проведённую к основанию $AC$:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 48}{16} = 6$$
- 2
В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам:$$AD = DC = \dfrac{16}{2} = 8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 122^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 61. Найдите длину большей дуги.
- 1
Найдём градусную меру большей дуги:$$360^\circ - 122^\circ = 238^\circ$$
- 2
Длины дуг одной окружности пропорциональны величинам соответствующих центральных углов:$$\frac{x}{61} = \frac{238}{122}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольного треугольника 54. Один из катетов 12. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
- 1
Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 54}{12} = 9$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$$