Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 39, боковая сторона равна 25. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна 14. В равнобедренной трапеции она поровну приходится на две боковые проекции:$$x=\dfrac{39-25}{2}=7$$
- 2
Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 25:$$h=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 20. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны 24 и 10.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $16$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании смежный с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Медиана $BM$ к основанию равнобедренного треугольника является высотой. В прямоугольном треугольнике $BMC$ сторона $BC$ — гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BM}{BC}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}6$. Гипотенуза $AB = 30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 30 \cdot 0{,}6 = 18$$
Ещё 2 шага — в полном решении
$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $FCH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Центральный угол правильного восьмиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
- 2
Угол $FCH$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $FH$. Эта дуга содержит две стороны восьмиугольника, поэтому её центральный угол равен:$$2\cdot45^\circ=90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 75$, $\cos A = \dfrac{24}{25}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса угла $A$:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 75 \cdot \dfrac{24}{25} = 72$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{17}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Дуга составляет $\dfrac{17}{36}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = \dfrac{17}{36} \cdot 360^\circ = 170^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{170^\circ}{2} = 85^\circ$$
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $86^\circ$, угол $ABC$ равен $73^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен:$$\angle A = 180^\circ - 73^\circ - x = 107^\circ - x$$
- 2
Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $LAC$ равен половине угла $A$:$$\angle LAC = \frac{107^\circ - x}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В окружности проведены пересекающиеся хорды $AB$ и $KM$. Величина дуги $AK$ равна $38^\circ$, а величина дуги $BM$ равна $42^\circ$. Чему равен угол между хордами $AB$ и $KM$? Ответ дайте в градусах.
- 1
Для угла, образованного пересекающимися хордами внутри окружности, применяем теорему: его величина равна половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла и вертикального ему угла.$$\angle = \dfrac{\overset{\frown}{AK} + \overset{\frown}{BM}}{2}$$
- 2
Подставим значения величин дуг:$$\angle = \dfrac{38^\circ + 42^\circ}{2} = 40^\circ$$
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна $3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$3 = \dfrac{4 + 2}{2} \cdot h$$
- 2
Находим высоту трапеции:$$h = 1$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
- 1
Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — гипотенуза. Найдём её по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=26$$
- 2
Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Поэтому наибольшая средняя линия параллельна гипотенузе.$$m=\dfrac{c}{2}=\dfrac{26}{2}=13$$
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 44$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополнительны к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Следовательно, $AB = BC = 44$, а угол $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $165^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, так как радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-165^\circ-90^\circ-90^\circ=15^\circ$$
Стороны параллелограмма равны 14 и 28. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
- 1
Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 14 \cdot 21$$
- 2
Через большую сторону и искомую высоту площадь равна:$$S = 28h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, $AC = 20$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому высота, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам.$$AC_1 = C_1C = \dfrac{20}{2} = 10$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту треугольника.$$h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 56$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому $AM=MC=28$.$$AM=MC=\frac{AC}{2}=28$$
- 2
Расположим основание $AC$ на координатной оси: $A(0,0)$, $C(56,0)$, $M(28,0)$, а $B(x,y)$. Поскольку $BH$ — высота, точка $H$ имеет координаты $(x,0)$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольного треугольника равна 270. Один из катетов равен 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника выражается через катеты:$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 270}{15} = 36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - (2\sqrt{51})^2 = 400 - 204 = 196$$
- 2
Следовательно, $BC = 14$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{14}{20} = 0{,}7$$
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 56$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой.
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 540, сторона $BC = 30$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AD = BC = 30$, найдём высоту прямоугольника:$$AB = \frac{540}{30} = 18$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$:$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{18}{30} = 0{,}6$$