В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 6$. Найдите длину гипотенузы $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 17$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол являются смежными.$$A = 180° - 120° = 60°$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60° = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{17}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 48$, диагональ $BD = 14$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 24, \quad BO = \dfrac{BD}{2} = 7$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $133^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому углы $CAO$ и $CBO$ равны $90^\circ$.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-133^\circ-90^\circ-90^\circ=47^\circ$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 15, $\tg\angle CAD = 0{,}75$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
- 2
Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $CD = AB = 15$. Найдём длину стороны $AD$.$$0{,}75 = \frac{15}{AD},\quad AD = \frac{15}{0{,}75} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 50$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$∠A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = 0{,}6$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AM=MC$ и $AC=2AM$.$$AC=2AM$$
- 2
Из прямоугольного треугольника $ABM$ найдём длину половины основания.$$\tg A=\frac{BM}{AM},\quad AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{3}{0{,}6}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 45$, $AC = 72$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна стороне ромба, а катеты равны половинам диагоналей.$$45^2 = \left(\dfrac{72}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 5$, $AC = 8$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $60$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{24}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $AD$ равна стороне $BC$, поэтому $AD = 60$.$$AD = BC = 60$$
- 2
По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{5}{24}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 80$, $AC = 128$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам:$$AM = MC = \dfrac{128}{2} = 64$$
- 2
Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 10^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 20. Найдите длину большей дуги.
- 1
Длина дуги пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Меньшая дуга с углом $10^\circ$ имеет длину 20.$$\frac{20}{L} = \frac{10}{360}$$
- 2
Находим длину всей окружности:$$L = 20 \cdot \frac{360}{10} = 720$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{21}$, диагональ $BD = 4$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.
- 2
Половина диагонали $AC$ равна $\sqrt{21}$, а половина диагонали $BD$ равна $2$.$$AO=\sqrt{21},\quad BO=2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Катет прямоугольного треугольника равен 12, одна из средних линий равна 2,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельной ей.$$b = 2 \cdot 2{,}5 = 5$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника.$$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $168$, $BC = 7$. Найдите синус угла $CAB$.
- 1
Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{168}{7} = 24$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора найдём диагональ $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 80 и 84. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны. Следовательно, данный параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны $80:2=40$ и $84:2=42$.$$a=\sqrt{40^2+42^2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{41}$, а один из катетов равен 4.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b^2 = (\sqrt{41})^2 - 4^2 = 41 - 16 = 25$$
- 2
Следовательно, второй катет равен 5.$$b = \sqrt{25} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 34$, $AC = 60$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB$ катеты равны половинам диагоналей:$$AB^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 18$. Найдите гипотенузу $AB$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 12$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ является смежным с внешним углом:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении