В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $27$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{109}$, $BC = 3$. Найдите $\tg A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 109 - 3^2 = 100$$
- 2
Следовательно, $AC = 10$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $300$, сторона $AB = 12$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Найдём сторону $AD$ из формулы площади прямоугольника:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{300}{12} = 25$$
- 2
В треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен $AB$, поэтому $CD = 12$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$$
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 47^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $|AB|=a$. Тогда по условию $|AC|=2a$. Так как $CD\parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $47^\circ$.$$|AB|=a,\quad |AC|=2a,\quad \angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=47^\circ$$
- 2
Вторая диагональ выражается через эти векторы:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 29$. Найдите длину диаметра окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности:$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 70$, $AC = 84$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{84}{2} = 42$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{70^2 - 42^2} = \sqrt{4900 - 1764} = \sqrt{3136} = 56$$
Найдите площадь ромба, если его высота равна 20, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
- 2
Так как $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{20}{\sin 30^\circ} = \dfrac{20}{1/2} = 40$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 14$. Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $48$. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 48 = 96$$
- 2
Медиана $BK$ делит основание пополам, поэтому $AK = 48$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 58$, $AC = 84$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора.$$\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = AB^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 20$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $21$. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия треугольника. Она равна половине основания:$$AC = 2MN = 2 \cdot 21 = 42$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам:$$AK = \frac{AC}{2} = 21$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $72^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 72^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 129^\circ$, $\angle 2 = 1^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между первой секущей и горизонтальными прямыми равен углу, смежному с $\angle 1$.$$180^\circ - 129^\circ = 51^\circ$$
- 2
Угол $\angle 2$ показывает, что вторая секущая отклонена от горизонтального направления на $1^\circ$. Поэтому угол между двумя секущими равен разности полученных углов.$$\angle 3 = 51^\circ - 1^\circ = 50^\circ$$
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, диагональ $BD = 12$. Найдите синус угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 8$, а $BO = \dfrac{BD}{2} = 6$.$$AO = 8,\quad BO = 6$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. Его гипотенуза $AB$ является стороной ромба.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $45$, $\tg \angle CAD = \dfrac{4}{5}$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $AC$, тангенс угла $CAD$ равен отношению сторон прямоугольника.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
- 2
Находим вторую сторону прямоугольника.$$AD = 45 \cdot \dfrac{4}{5} = 36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 117^\circ$, угол $2 = 24^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Найдём угол, смежный с углом $1$:$$180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$$
- 2
Из-за параллельности прямых соответствующий угол при пересечении второй секущей равен $63^\circ$. Угол $3$ получается после вычитания угла $2$:$$\angle 3 = 63^\circ - 24^\circ = 39^\circ$$
Сторона ромба равна 13, одна из его диагоналей равна 24. Найдите площадь ромба.
- 1
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна:$$\frac{24}{2}=12$$
- 2
Половину второй диагонали найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике со стороной ромба в качестве гипотенузы:$$x=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 31^\circ$, угол $2 = 106^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона второй секущей к направлению параллельных прямых равен$$180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$$
- 2
Угол между двумя секущими равен разности полученных углов наклона:$$\angle 3 = 74^\circ - 31^\circ = 43^\circ$$
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $2$, а $\tg A = 0{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$.$$AC = 2AM$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и найдём длину половины основания.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{2}{0{,}4} = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 3$, а её площадь равна 77. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Диагональ $AC$ разделяет трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$, имеющие общую высоту к основаниям $BC$ и $AD$.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=3:8$$
- 2
Сумма площадей треугольников равна площади трапеции, поэтому площадь треугольника $ABC$ составляет $\frac{3}{3+8}$ площади трапеции.$$S_{ABC}=77\cdot\frac{3}{11}=21$$
На окружности радиуса 32 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$. Найдите $\cos \angle BAC$.
- 1
Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 32 = 64$$
- 2
Угол $ACB$ — прямой, поскольку он опирается на диаметр $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $BAC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{64}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении