На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 60^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot60^\circ=120^\circ$$
- 2
Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$. Найдём дугу $DB$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 7$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому все его стороны равны $7$.$$AB = BC = CD = DA = 7$$
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle A = \angle C$. Из условия следует:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad \angle A = \angle C = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 66^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$$
- 2
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, значит, он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{114^\circ}{2} = 57^\circ$$
На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 122^\circ$. Найдите величину угла $DMB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $CMA$ и $CMB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
- 2
Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{\angle CMB}{2} = \dfrac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$
В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $157^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ$$
- 2
Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны: $A = B = 23^\circ$.$$A = B = 23^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 7$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 24. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 24 = 48$$
- 2
Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $24$. Найдите периметр ромба.
- 1
Противоположные углы ромба равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину $120^\circ$ каждый. Остальные два угла равны $60^\circ$.$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
- 2
Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Угол между сторонами равен $60^\circ$, поэтому этот треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали: $a = 24$.$$a = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 139^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Положим $|AB|=1$. Тогда $|AC|=2$. Так как $\angle ACD$ равен углу между диагональю $AC$ и стороной $AB$, угол между соответствующими векторами равен $139^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AC,AB)=\cos139^\circ$$
- 2
Выразим вторую диагональ через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 104$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам:$$AM = MC = \dfrac{104}{2} = 52$$
- 2
Медиана $BM$ является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$$
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$, $BC = 15$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 19^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. Введём векторы $\vec u=\vec{AC}$ и $\vec d=\vec{AD}$. Так как $\angle ACD=19^\circ$, имеем$$\vec u\cdot(\vec d-\vec u)=-|\vec u|\cdot|\vec d-\vec u|\cos19^\circ=-2a^2\cos19^\circ$$
- 2
Следовательно, скалярное произведение векторов сторон равно$$\vec u\cdot\vec d=4a^2-2a^2\cos19^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120°$, $AB = 29$. Найдите $BD$.
- 1
Диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит, этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = BC = CD = DA = 29$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle A = \angle C = 60°$.$$\angle A = \angle C = \frac{120°}{2} = 60°$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В угол с вершиной $C$, равный $19^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
- 2
Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 19^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{17}$, а один из катетов равен $1$.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{17})^2-1^2}=\sqrt{17-1}=4$$
- 2
Вычислим площадь прямоугольного треугольника:$$S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot4=2$$
Катет прямоугольного треугольника равен 24, одна из средних линий равна 3,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 3{,}5 = 7$$
- 2
По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 15$, $BC = CD = 17$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.
- 1
Опустим из точки $C$ перпендикуляр на основание $AD$. Получившийся прямоугольный треугольник имеет высоту $15$ и гипотенузу $CD = 17$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8$$
- 2
Нижнее основание состоит из верхнего основания и найденной горизонтальной проекции.$$AD = BC + x = 17 + 8 = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 9 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin150^\circ = 8\cdot\frac{1}{2}=4$$
- 2
Используем формулу площади трапеции.$$S=\frac{9+19}{2}\cdot4=14\cdot4=56$$
Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 7. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Так как диагонали параллелограмма равны, данный параллелограмм является прямоугольником.$$d^2 = a^2 + b^2$$
- 2
По теореме Пифагора найдём другую сторону:$$b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 26$, $AC = 20$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 10,\quad BO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём половину диагонали $BD$.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 61^\circ$, $\angle D = 151^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. У них $AB = BC$, $AD = CD$, а сторона $BD$ общая, поэтому треугольники равны по трём сторонам.$$AB=BC,\quad AD=CD,\quad BD=BD$$
- 2
Из равенства треугольников следует, что диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$\angle ABD=\frac{61^\circ}{2}=30{,}5^\circ,\quad \angle ADB=\frac{151^\circ}{2}=75{,}5^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении