В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = 2\sqrt{3}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{4} = 0.5$$
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 42, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $42-12=30$. В равнобедренной трапеции она поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $30:2=15$.$$x=\frac{42-12}{2}=15$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 15. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
Обозначим второй катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 12^2 = 15^2$$
- 2
Находим второй катет:$$x^2 = 225 - 144 = 81,\quad x=9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 30. Гипотенуза равна 34. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{34^2-30^2}=\sqrt{1156-900}=16$$
- 2
Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$m=\frac{16}{2}=8$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 20 \cdot 0{,}6 = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 40$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$$
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 5$, а её площадь равна 22. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь трапеции выражается через основания и высоту:$$22 = \dfrac{6 + 5}{2} \cdot h$$
- 2
Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{44}{11} = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 75$, $AC = 21$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5184} = 72$$
- 2
Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{72}{75} = \dfrac{24}{25} = 0{,}96$$
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $340$, сторона $BC = 20$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{340}{20} = 17$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $CD = AB = 17$ и $AD = BC = 20$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $40$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
- 1
В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $120^\circ$, означает, что каждый из этих углов равен $60^\circ$.$$\alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Найдём длину стороны ромба по периметру.$$a = \frac{40}{4} = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 66$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом $150^\circ$, равен $30^\circ$. Поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Углы при основании равны, значит, $AB = BC = 66$. Биссектриса $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой и высотой.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 15, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба связана с его стороной и острым углом формулой:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{15}{1/2} = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 22. Найдите боковую сторону $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Поэтому $\angle ABK = 60^\circ$.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $BK=22$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 9. Тангенс угла $A$ равен 0,75. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Для угла $A$ противолежащий катет — $BC$, а прилежащий катет — $AC$. Поэтому$$\tan A = \frac{BC}{AC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$:$$0{,}75 = \frac{9}{AC},\quad AC = \frac{9}{0{,}75} = 12$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 48. Гипотенуза равна 50. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
- 1
По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b=\sqrt{50^2-48^2}=\sqrt{2500-2304}=\sqrt{196}=14$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$l=\frac{14}{2}=7$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{8}{15}$, $BC = 30$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём катет $AC$ по значению тангенса.$$AC = BC \cdot \tg B = 30 \cdot \dfrac{8}{15} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 13, $\tg \angle CAD = 0{,}2$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. При этом $CD = AB = 13$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{13}{AD} = 0{,}2$$
- 2
Найдём вторую сторону прямоугольника:$$AD = \frac{13}{0{,}2} = 65$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите площадь ромба, если его высота равна 30, а острый угол равен $30^\circ$.
- 1
Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{30}{1/2} = 60$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 30$, сторона $AB = 3\sqrt{34}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 15$.
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём катет $BO$:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{34})^2 - 15^2} = \sqrt{306 - 225} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Одна из диагоналей ромба равна 18, а его площадь равна 216. Найдите сторону ромба.
- 1
По формуле площади ромба найдём вторую диагональ.$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 216}{18} = 24$$
- 2
Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна стороне ромба.$$a = \sqrt{\left(\dfrac{18}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$