12
Решение: Длина биссектрисы треугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ8A3C59Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 66$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом $150^\circ$, равен $30^\circ$. Поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.
$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$2
Углы при основании равны, значит, $AB = BC = 66$. Биссектриса $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой и высотой.
3
По теореме косинусов найдём основание $AC$:
$$AC^2 = 66^2 + 66^2 - 2\cdot66\cdot66\cos120^\circ = 66^2\cdot3,\quad AC = 66\sqrt{3}$$Так как $K$ — середина основания, $AK = 33\sqrt{3}$. По теореме Пифагора:
$$BK = \sqrt{66^2 - (33\sqrt{3})^2} = \sqrt{4356 - 3267} = \sqrt{1089} = 33$$Ответ
33
33
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Принять внешние углы за внутренние.
Забыть, что биссектриса из вершины равнобедренного треугольника является также медианой и высотой.
Использовать половину стороны $AB$ вместо половины основания $AC$.