В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 68$, $\cos A = \dfrac{8}{17}$. Найдите длину стороны $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = 68 \cdot \frac{8}{17} = 32$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 3\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 6$$
- 2
По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 49^\circ$ и $\angle BDC = 13^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол при вершине $D$ трапеции состоит из углов $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 49^\circ + 13^\circ = 62^\circ$$
- 2
Так как $AB = CD$, трапеция является равнобедренной, поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 62^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 22$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
- 1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Следовательно, $\angle B = 120^\circ$, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = AB = 22$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 80$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 9. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота $BK$ к основанию $AC$ является медианой, поэтому $KC = \dfrac{AC}{2} = 40$.$$KC = \frac{80}{2} = 40$$
- 2
Введём координаты: $K(0,0)$, $B(0,9)$, $C(40,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, его координаты равны:$$P\left(\frac{0+40}{2},\frac{9+0}{2}\right)=(20,4{,}5)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $\cos A = 0{,}2$. Найдите высоту $CH$.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника найдём через катеты:$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BC$$
- 2
Также площадь можно выразить через гипотенузу $AB$ и высоту $CH$:$$S = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 40$, $\tg A = \dfrac{9}{8}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам: $\dfrac{AC}{2} = 20$.$$AM = MC = 20$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{20} = \dfrac{9}{8}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 21^\circ$ и $\angle BDC = 110^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $BDA$ и $BDC$ составляют угол $ADC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 21^\circ + 110^\circ = 131^\circ$$
- 2
Поскольку в трапеции $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, она является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 131^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности радиусом $\sqrt{10}$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите длину хорды $BC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Найдём диаметр окружности.$$AB = 2R = 2\sqrt{10}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{6}$, $BC = 24$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 24 \cdot \dfrac{5}{6} = 20$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 6$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Поэтому $AM=MC=3$.
- 2
Обозначим $AH=x$. Тогда $MH=x-3$, а $HC=6-x$. Так как $BH$ — высота, треугольники $BHM$ и $BHC$ прямоугольные.
Ещё 3 қадам — толық шешімде