12
Решение: Биссектриса треугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИFDBFABКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 5 шаговОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 22$. Найдите длину биссектрисы $BK$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:
$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$2
Следовательно, $\angle B = 120^\circ$, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = AB = 22$.
3
По теореме косинусов найдём основание $AC$:
$$AC^2 = 22^2 + 22^2 - 2\cdot22\cdot22\cos120^\circ = 1452 = (22\sqrt{3})^2$$4
Биссектриса $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой, поэтому $AK = 11\sqrt{3}$. По теореме Пифагора:
$$BK^2 = AB^2 - AK^2 = 22^2 - (11\sqrt{3})^2 = 121$$Длина биссектрисы положительна, поэтому $BK = 11$.
Ответ
11
11
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Путать внешний угол с внутренним и считать угол при вершине равным $150^\circ$.
Забывать, что в равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины является также медианой и высотой.