В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 77^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Для параллелограмма, в котором диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$, угол между диагоналями равен дополнению до $90^\circ$ половины угла $\angle ACD$.$$\varphi = 90^\circ - \frac{\angle ACD}{2}$$
- 2
Подставим значение данного угла:$$\varphi = 90^\circ - \frac{77^\circ}{2} = 90^\circ - 38.5^\circ = 51.5^\circ$$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 169^\circ$, $\angle D = 175^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, точки $B$ и $D$ равноудалены от точек $A$ и $C$. Следовательно, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$, а углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + 169^\circ + \angle C + 175^\circ = 360^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{3}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 30. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{1}{2}AC$$
- 2
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AK}{AB} \cdot \dfrac{AM}{AC}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 14. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$
- 2
Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому выразим гипотенузу $AB$ через прилежащий катет $BK$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $2$. Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{21}$. Найдите длину стороны $AB$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$, проведённая к основанию $AC$, является также высотой и делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Найдём основание из формулы площади треугольника:$$2\sqrt{21} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 2 = AC$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 12$.
- 1
Введём векторы $\vec{AB}=\vec b$ и $\vec{AD}=\vec d$. Так как $M$ — середина $BC$, имеем $\vec{AM}=\vec b+\frac{1}{2}\vec d$.
- 2
Пусть $K$ делит диагональ $BD$ так, что $\vec{BK}=t(\vec d-\vec b)$. Тогда координаты точки $K$ относительно точки $A$ равны $(1-t)\vec b+t\vec d$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 16, $\tg\angle CAD = 0{,}64$. Найдите площадь прямоугольника.
- 1
В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
- 2
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $CD = AB = 16$. Найдём сторону $AD$.$$0{,}64 = \frac{16}{AD},\quad AD = \frac{16}{0{,}64} = 25$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 74^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AD}=\vec v$, а $|AB|=a$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$ и $|AC|=2a$.
- 2
Так как угол между $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD=74^\circ$, имеем$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|\,|\vec u+\vec v|\cos74^\circ=2a^2\cos74^\circ$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по сторонам.$$x = \dfrac{21 - 11}{2} = 5$$
- 2
Высота и отрезок, равный 5, образуют с боковой стороной прямоугольный треугольник.$$h^2 + 5^2 = 13^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 11, а $\tg A = 2{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$, а $AC = 2AM$.$$AC = 2AM$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $ABM$ используем определение тангенса угла $A$.$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10$, сторона $AB = \sqrt{41}$. Найдите тангенс угла $BAC$.
- 1
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому половина диагонали $AC$ равна $5$.$$AO = \frac{AC}{2} = 5$$
- 2
В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём второй катет.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{41 - 25} = 4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=10:13$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
- 1
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол при вершине $B$. Поэтому отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BA}\cdot\dfrac{BK}{BC}$$
- 2
Подставим данные из условия:$$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{13}=\dfrac{5}{13}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $FGH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
У правильного десятиугольника $n=10$ сторон, поэтому сумма его внутренних углов равна:$$(n-2)\cdot 180^\circ=(10-2)\cdot 180^\circ=1440^\circ$$
- 2
Все внутренние углы правильного десятиугольника равны. Следовательно, угол $FGH$ равен:$$\angle FGH=\dfrac{1440^\circ}{10}=144^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.
- 1
Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине — смежные, поэтому$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Обе диагонали параллелограмма равны 61. Одна из сторон параллелограмма равна 11. Найдите другую сторону параллелограмма.
- 1
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
- 2
В прямоугольнике диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$b^2 + 11^2 = 61^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 30, площадь треугольника равна 120. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Выразим высоту треугольника через его площадь и основание:$$h=\frac{2S}{AC}=\frac{2\cdot120}{30}=8$$
- 2
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит его пополам:$$AM=MC=\frac{AC}{2}=15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{8}$, $BC = 40$. Найдите площадь треугольника.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. По определению тангенса угла $B$:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{8}$$
- 2
Найдём катет $AC$:$$AC = 40 \cdot \dfrac{3}{8} = 15$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\frac{5}{12}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.
- 1
Найдём величину центрального угла, соответствующего дуге длиной $\frac{5}{12}$ окружности.$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{5}{12}=150^\circ$$
- 2
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла.$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{150^\circ}{2}=75^\circ$$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 69^\circ$, $\angle D = 125^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
- 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C = 360^\circ - 69^\circ - 125^\circ = 166^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 70^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $AB=a$. По условию $AC=2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $70^\circ$.
- 2
Вектор второй диагонали можно представить как разность вектора $AC$ и удвоенного вектора $AB$: $\vec{BD}=\vec{AC}-2\vec{AB}$.
Ещё 4 шага — в полном решении