Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 70^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $AB=a$. По условию $AC=2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $70^\circ$.
Вектор второй диагонали можно представить как разность вектора $AC$ и удвоенного вектора $AB$: $\vec{BD}=\vec{AC}-2\vec{AB}$.
Вычислим скалярное произведение диагоналей:
$$\vec{AC}\cdot\vec{BD}=AC^2-2\,AC\cdot AB\cos70^\circ=4a^2(1-\cos70^\circ)$$Длина второй диагонали равна:
$$BD=\sqrt{AC^2+4AB^2-4\,AC\cdot AB\cos70^\circ}=a\sqrt{8(1-\cos70^\circ)}$$По формуле скалярного произведения для угла $\varphi$ между диагоналями:
$$\cos\varphi=\frac{4a^2(1-\cos70^\circ)}{2a\cdot a\sqrt{8(1-\cos70^\circ)}}=\sqrt{\frac{1-\cos70^\circ}{2}}=\sin35^\circ=\cos55^\circ$$Угол между прямыми берут острый, поэтому $\varphi=55^\circ$.
Где здесь ошибаются
Выбирают тупой угол $125^\circ$, хотя угол между диагоналями обычно считается меньшим.
Путают угол $\angle ACD$ с углом между диагоналями.
Неверно используют соотношение $AC=2AB$.