В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 57$. Найдите $BD$.
- 1
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 57$.
- 2
Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 42$. Найдите длину катета $BC$.
- 1
Внутренний угол при вершине $A$ является смежным с внешним углом.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$$
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 127^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Пусть $AB = CD = 1$. Тогда $AC = 2$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2AC \cdot CD \cos 127^\circ = 5 - 4\cos 127^\circ$$
- 2
Обозначим векторы $\overrightarrow{AB}=\vec b$ и $\overrightarrow{AD}=\vec d$. Тогда диагонали имеют направления $\vec b+\vec d$ и $\vec d-\vec b$.
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 34$, $\sin A = \dfrac{8}{17}$. Найдите длину стороны $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 34 \cdot \dfrac{8}{17} = 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 32 и 24. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны $16$ и $12$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 80, площадь треугольника равна 360. Найдите длину боковой стороны $AB$.
- 1
Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам.$$AC_1 = \dfrac{AC}{2} = 40$$
- 2
Найдём высоту треугольника по формуле площади.$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 360}{80} = 9$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 35$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Радиусы окружности равны: $OA = OC$. В треугольнике $AOC$ углы при основании также равны, поэтому при угле $60^\circ$ все углы треугольника равны $60^\circ$. Треугольник равносторонний.$$OA = AC = 35$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника.
- 1
Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$d^2 = a^2 + b^2$$
- 2
Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 104^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Обозначим $AB = a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $104^\circ$.$$AC=2a,\quad AB=a$$
- 2
Поскольку $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$, найдём длину диагонали $BD$.$$BD^2=AC^2+4AB^2-4\,AC\cdot AB\cos104^\circ=8a^2(1-\cos104^\circ)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$: $AM = MC = 7$.
- 2
Обозначим $AH = x$. Тогда $MH = x - 7$, а $HC = 14 - x$.
Ещё 3 шага — в полном решении
На окружности радиуса 5 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$. Найдите $\sin \angle ABC$.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 5 = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $117$, сторона $BC = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.
- 1
Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $AD = BC = 15$.
- 2
Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $CD$:$$CD = \frac{S}{AD} = \frac{117}{15} = 7{,}8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 42 и 40. Найдите периметр параллелограмма.
- 1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
- 2
Половины диагоналей ромба равны $21$ и $20$. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной ромба.$$a = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 15$. Найдите диаметр окружности.
- 1
Поскольку $AB$ — диаметр, центральные углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
- 2
Выразим длину хорды $AC$ через радиус окружности.$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Основания трапеции равны 1 и 7, боковая сторона, равная 5, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 5\sin150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту:$$h = 5\cdot\frac{1}{2}=2{,}5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 77. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.
- 1
Внутренний угол при основании и внешний угол являются смежными:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике медиана $BM$, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, и $BC$ — его гипотенуза.
Ещё 2 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $\cos A = 0{,}5$. Найдите высоту $CH$.
- 1
В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}5$$
- 2
Так как $BC = 10$ — катет, а угол $A$ имеет косинус $0{,}5$, гипотенуза в два раза больше катета $BC$: $AB = 20$. Тогда $AC = AB \cdot \cos A = 10$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
- 2
Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{10+20}{2} \cdot 4 = 60$$
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 88, боковая сторона равна 53. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Опустим высоты из концов меньшего основания. Получившийся прямоугольный треугольник имеет горизонтальный катет, равный половине разности оснований.$$x=\dfrac{88-32}{2}=28$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h=\sqrt{53^2-28^2}=\sqrt{2809-784}=45$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 42, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- 1
Разность оснований равна $42 - 12 = 30$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $15$.$$x = \dfrac{42 - 12}{2} = 15$$
- 2
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = 36$$
Ещё 2 шага — в полном решении